【追記】ピノキオのパラドックスをパラドックスたらしめる

前回記事

に補足。この問題はもう２つごく当たり前の前提を加えると、我々が自然に解釈する前提に近づき、かつ本当のパラドックスになる。

前提追加

その１：必要十分条件みたいにする

ピノキオの鼻が伸びるのはピノキオが嘘をついたときのみ、つまり、ピノキオの鼻が伸びたならばピノキオは何か嘘をついている、という条件を加えよう。

その２：ピノキオの口はただ１つ

彼は口が１つしかないので、一度に述べられることは１つしかない ––– 今回の場合は、「ピノキオの鼻は伸びる」以外のことは同時に発言していないこと ––– を保証する必要がある。

こうすれば、直感の通り、命題は矛盾を導く。

証明図も記しておこう。証明過程は一意ではないこと、また、独自に = の除去規則を作っていることに注意。

爆発律

自然演繹では、証明において、前提の一部を使わずに推論することも可能である。だから、今の前提で以下の証明図を得ることもできる。

一方で、以下の証明図を得ることもできる。

これらの証明図はそれぞれ、以下のことを主張する。

$$
\begin{aligned}
& S(G) ,\quad\forall\varphi\; \left(S(\varphi)\land\lnot\varphi\rightarrow G\right),\\
& \qquad G\rightarrow\left(\exists\varphi\; S(\varphi)\land\lnot\varphi\right),\quad\forall\psi\forall\chi\;S(\psi)\land S(\chi)\rightarrow \psi=\chi \\
& \qquad\qquad \vdash\quad G
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
& S(G) ,\quad\forall\varphi\; \left(S(\varphi)\land\lnot\varphi\rightarrow G\right),\\
& \qquad G\rightarrow\left(\exists\varphi\; S(\varphi)\land\lnot\varphi\right),\quad\forall\psi\forall\chi\;S(\psi)\land S(\chi)\rightarrow \psi=\chi \\
& \qquad\qquad \vdash\quad\lnot G
\end{aligned}
$$

・・・気づいただろうか。同じ前提から全く逆のことが導けてしまうのである。

自然演繹では、実は、矛盾 $${\bot}$$ を導く前提からは、任意の論理項が導ける、とされる。

言い換えると、矛盾 $${\bot}$$ からは何を導いても良いということで、しばしば爆発律と呼ばれる。

例えば、今の前提から、「キリストは実在する」を導いても良い。

自然演繹のもう一つの限界はここで、矛盾に脆弱なのである。
矛盾に満ちた現実世界では、理屈というものは使いようでしかないのかもしれない。

とかまたテキトーなこと言って締めてみましょうか。