【古典数学：原論文の講読】 「Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse.」Bernhard Riemann.1859年(与えられた大きさ以下の素数の個数について)

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$${\rm Latest}$$  $${\rm additions}$$  $${\rm(7/26/2026)}$$
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1.  Introduction【はじめに】

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1.はじめに
この記事では
【Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse】を紹介します.
(与えられた大きさ以下の素数の個数について)
Bernhard Riemann. 1859年

リーマン予想が初めて公表された.
一次資料として数学史上認められているもの.
執筆・提出：1859年10月
公表：1859年11月
掲載誌：Monatsberichte der Königlichen Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin  pp. 671–680(全9ページ)
(ベルリン王立プロイセン科学アカデミー月報)

https://www.biodiversitylibrary.org/item/41575?utm_source=chatgpt.com#page/687/mode/1up

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もし現代の論文として章立てを付けるなら

第1章：解析的接続とゼータ関数の基本性質
第2章：補助関数$${\displaystyle \small \xi(t)}$$と「リーマン予想」の提示
第3章：$${\displaystyle \small \xi(t)}$$の因数分解と
　　　ワイエルシュトラス無限積の先駆
第4章：素数計数関数へのアプローチ
第5章：リーマンの明示公式(Explicit Formula)
第6章：実際の数値データとの比較(結論)

という構成になると思います。
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日本評論社の『リーマン予想』という本では、
第2章で「Riemannの原論文とその解説」として、
原論文テキストと解説が収録されています。

目次
第１章　概説
　１　Riemannの動機と意図
　２　歴史的展開
第２章　Riemannの原論文とその解説
　１　原論文
　２　RiemannからWeierstrassへの手紙の草案
第３章　ゼータ関数の零点に関する数値計算
　１　計算の歴史
　２　σ＝1/2の線上での零点の探査
　３　Euler-Maclaurinの和公式
　４　ξ(s)の近似公式
　５　θ(t)の近似公式
　６　tが小さいときのＺ(t)の値の計算とＮ(t)
　　　の数え上げの方法
　７　Riemann-Siegel公式
　８　tが大きいときの零点分布の研究
第４章　Riemann予想に同値な命題
　１　解析的数論から
　２　関数解析から
　３　保型関数の散乱理論から
　４　拡散過程によるアプローチ
第５章　Riemann予想と約数問題
　１　Lindelof予想と約数問題
　２　Mosorの宇宙論から
　３　明示公式とその応用
第６章　Riemannゼータ関数のいろいろな拡張
　１　Dirichlet級数とDirichletＬ関数
　２　Dedekindゼータ関数
　３　Epsteinゼータ関数
第７章　Weil-Deligneの定理
　１　Weilの結果
　２　有限体上の代数幾何学
　３　代数多様体の合同ゼータ関数Ｚ(μ,Ｘ)
　４　Riemann-Weil予想とDeligneによる証明
　５　Weil-Deligneの定理の応用
索引
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2.  Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse

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第0章　タイトルおよびヘッダー部分

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【タイトルおよびヘッダー部分】
原文

Bericht
über die
zur Bekanntmachung geeigneten Verhandlungen
der Königl.Preufs. Akademie der Wissenschaften
zu Berlin
im Monat November 1859.
⸻
Vorsitzender Sekretär: Hr. Encke.
⸻

日本語訳

報告
公表に適した決議について
王立プロイセン科学アカデミー（ベルリン）
1859年11月度
⸻
議長・秘書：エンケ氏
⸻

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【11月3日の総会記録(前半：シュタイナー氏)】
原文
3. Nov. Gesammtitzung der Akademie.
Hr. Steiner las über einige allgemeine Bestimmungsarten der Curven und Flächen zweiter Ordnung und daraus folgenden Sätzen.
⸻
日本語訳
11月3日 アカデミー総会
シュタイナー氏は、2次の曲線および曲面に関するいくつかの一般的な決定法と、そこから導かれる定理について論じた。

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【11月3日の総会記録(後半：クンマー氏によるリーマン論文の紹介)】
原文
Hierauf trug Hr. Kummer folgende von Hrn. Riemann,Correspondenten der Akademie, mittelst eines an den Sekretar Hrn. Encke gerichteten Schreibens vom 19. October d. J. eingesandte Mittheilung „über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse” vor:
⸻
日本語訳
これに続いて、クンマー氏は、アカデミーの通信会員であるリーマン氏から、秘書であるエンケ氏宛ての本年10月19日付の書簡によって送付された、以下の通信「与えられた数より小さい素数の個数について」を代読（発表）した。

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第1章　解析的接続とゼータ関数の基本性質

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【アカデミーへの謝辞】
原文
Meinen Dank für die Auszeichnung, welche mir die Akademie durch die Aufnahme unter ihre Correspondenten hat zu Theil werden lassen, glaube ich am besten dadurch zu erkennen zu geben, dafs ich von der hiedurch erhaltenen Erlaubnifs baldigst Gebrauch mache durch Mittheilung einer Untersuchung über die Häufigkeit der Primzahlen; ein Gegenstand, welcher durch das Interesse, welches Gauss und Dirichlet demselben längere Zeit geschenkt haben, einer solchen Mittheilung vielleicht nicht ganz unwerth erscheint.
⸻
日本語訳
アカデミーが私を通信会員に選出してくださったという栄誉に対する私の感謝の念は、これによって得られた許可をできるだけ早く利用し、素数の頻度に関する調査を報告することによって最もよく表されると存じます。この主題は、ガウスとディリクレが長年にわたり関心を寄せてきたものであり、このような報告を行うに決して無価値ではないと思われるものです。

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【アプローチの提示(オイラー積とゼータ関数)】
原文
Bei dieser Untersuchung diente mir als Ausgangspunkt die von Euler gemachte Bemerkung, dafs das Product

$${\Pi \dfrac{1}{1 - \dfrac{1}{p^{s'}}} = \Sigma \dfrac{1}{n^{s'}},}$$

⸻
日本語訳
この調査において、私が出発点としたのは、次の積(プロダクト)に関するオイラーの指摘である。

$${\Pi \dfrac{1}{1 - \dfrac{1}{p^{s'}}} = \Sigma \dfrac{1}{n^{s'}},}$$

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【ゼータ関数の定義】
原文
wenn für p alle Primzahlen, für n alle ganzen Zahlen gesetzt werden. Die Function der complexen Veränderlichen s, welche durch diese beiden Ausdrücke, so lange sie convergiren, dargestellt wird, bezeichne ich durch $${\zeta(s).}$$Beide convergiren nur, so lange der reelle Theil von s gröfser als 1 ist; es läfst sich indefs leicht ein immer gültig bleibender Ausdruck der Function finden. Durch Anwendung der Gleichung
⸻
日本語訳
ここで p にはすべての素数が、n にはすべての整数が代入されるものとする。これら両方の式が収束する限りにおいて、これらによって表される複素変数 s の関数を、私は$${\small \zeta(s)}$$と表記する。両者は、 s の実部が1より大きい限りにおいてのみ収束する。しかしながら、常に有効であり続けるこの関数の表現を見出すことは容易である。次の等式を適用することにより、

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【ガンマ関数との関係式】
原文

$${\displaystyle \int_0^\infty e^{-nx} x^{s-1} dx = \dfrac{\Pi(s-1)}{n^s}}$$

erhält man zunächst
⸻
日本語訳

$${\displaystyle \int_0^\infty e^{-nx} x^{s-1} dx = \dfrac{\Pi(s-1)}{n^s}}$$

まず次が得られる。

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【ゼータ関数の積分表示】
原文

$${\displaystyle \Pi(s-1) \zeta(s) = \int_0^\infty \dfrac{x^{s-1} dx}{e^x - 1}.}$$

⸻
日本語訳

$${\displaystyle \Pi(s-1) \zeta(s) = \int_0^\infty \dfrac{x^{s-1} dx}{e^x - 1}.}$$

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【複素積分の導入】
原文
Betrachtet man nun das Integral

$${\displaystyle \int \dfrac{(-x)^{s-1} dx}{e^x - 1},}$$

von $${\displaystyle +\infty}$$ bis $${\displaystyle +\infty}$$ positiv um ein Gröfsengebiet erstreckt, welches den Werth 0, aber keinen andern Unstetigkeitswerth der Function unter dem Integralzeichen im Innern enthält, so ergiebt sich dieses leicht als gleich
⸻
日本語訳
いま、積分

$${\displaystyle \int \dfrac{(-x)^{s-1} dx}{e^x - 1},}$$

を検討する。これは$${\displaystyle \small +\infty}$$から$${\displaystyle \small +\infty}$$まで、被積分関数の不連続点のうち値0を含み、それ以外の不連続点を含まないような領域を正の方向に（反時計回りに）取り囲むものである。すると、これが以下と等しいことが容易に導かれる。

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【経路の変形と係数】
原文

$${\displaystyle (e^{-s\pi i} - e^{s\pi i}) \int_0^\infty \dfrac{x^{s-1} dx}{e^x - 1},}$$

vorausgesetzt, dafs in der vieldeutigen Function $${\displaystyle \small (-x)^{s-1} = e^{(s-1)\log(-x)}}$$ der Logarithmus von -x so bestimmt worden ist, dafs er für ein negatives x reell wird. Man hat daher
⸻
日本語訳

$${\displaystyle (e^{-s\pi i} - e^{s\pi i}) \int_0^\infty \dfrac{x^{s-1} dx}{e^x - 1},}$$

ただし多価関数$${\displaystyle \small (-x)^{s-1} = e^{(s-1)\log(-x)}}$$において$${\displaystyle \small -x}$$の対数は、負の$${\displaystyle \small x}$$に対し実数となるように決定されているものとする。したがって、次が得られる。

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【ゼータ関数の関数等式への足がかり】
原文

$${\displaystyle 2 \sin \pi s \;\Pi(s-1) \zeta(s) = i \int_\infty^\infty \dfrac{(-x)^{s-1} dx}{e^x - 1},}$$

das Integral in der eben angegebenen Bedeutung verstanden.
⸻
日本語訳

$${\displaystyle 2 \sin \pi s \;\Pi(s-1) \zeta(s) = i \int_\infty^\infty \dfrac{(-x)^{s-1} dx}{e^x - 1},}$$

ただし積分は先ほど示された意味として理解されるものとする。

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【解析接続と負の偶数での零点】
原文
Diese Gleichung giebt nun den Werth der Function $${\displaystyle \small \zeta(s)}$$ für jedes beliebige complexe $${\displaystyle \small s}$$ und zeigt, dafs sie einwerthig und für alle endlichen Werthe von $${\displaystyle \small s}$$, aufser $${\displaystyle \small 1}$$, endlich ist, so wie auch, dafs sie verschwindet, wenn $${\displaystyle \small s}$$ gleich einer negativen geraden Zahl ist.
⸻
日本語訳
この方程式は、任意の複素数$${\displaystyle \small s}$$に対する関数$${\displaystyle \small \zeta(s)}$$の値を与え、これが一価であり、1を除くすべての有限の$${\displaystyle \small s}$$の値に対して有限（正則）であることを示している。また同時に$${\displaystyle \small s}$$が負の偶数に等しいときに、この関数が消滅する（0になる）ことも示している。

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【積分経路の拡張と留数計算の導入】
原文
Wenn der reelle Theil von s negativ ist, kann das Integral, statt positiv um das oben angegebene Gröfsengebiet, auch negativ um das Gröfsengebiet welches sämmtliche übrigen complexen Gröfsen enthält erstreckt werden, da das Integral durch Werthe mit unendlich grofsem Modul dann unendlich klein ist. Im Innern dieses Gröfsengebiets aber wird die Function unter dem Integralzeichen nur unstetig, wenn x gleich einem ganzen Vielfachen von $${\displaystyle \small \pm 2\pi i}$$ wird und das Integral ist daher gleich der Summe der Integrale negativ um diese Werthe genommen.
Das Integral um den Werth $${\displaystyle \small n 2\pi i}$$ aber ist $${\displaystyle \small = (-n 2\pi i)^{s-1} (-2\pi i);}$$ man erhält daher
⸻
日本語訳
s の実部が負であるとき、この積分は、上述の領域を正の方向に回る代わりに、残りのすべての複素数の領域を負の方向に回ることで、領域へと拡張される。なぜなら、絶対値が無限大となる値を通る積分は、そのとき無限小になるからである。しかし、この領域の内部において、積分記号の下にある関数が不連続（分母が0）になるのは、 x が $${\displaystyle \small \pm 2\pi i}$$の整数倍に等しくなるときのみであり、したがってこの積分は、これらの値の周りを負の方向に回る積分の和に等しくなる。 $${\displaystyle \small n 2\pi i}$$ という値の周りの積分は、 $${\displaystyle \small = (-n 2\pi i)^{s-1} (-2\pi i)}$$となる。したがって、次が得られる。

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【関数等式の導出前半】
原文

$${\displaystyle \footnotesize 2 \sin \pi s \;\Pi(s-1) \zeta(s) = (2\pi)^s \Sigma n^{s-1} ((-i)^{s-1} + i^{s-1}),}$$

also eine Relation zwischen $${\displaystyle \small \zeta(s)}$$ und $${\displaystyle \small \zeta(1-s)}$$, welche sich mit Benutzung bekannter Eigenschaften der Function $${\displaystyle \small \Pi}$$ auch so ausdrücken läfst:
⸻
日本語訳

$${\displaystyle \footnotesize 2 \sin \pi s \;\Pi(s-1) \zeta(s) = (2\pi)^s \Sigma n^{s-1} ((-i)^{s-1} + i^{s-1}),}$$

すなわち$${\displaystyle \small \zeta(s)}$$と$${\displaystyle \small \zeta(1-s)}$$の間の関係式であり、これは$${\displaystyle \small \Pi}$$関数の既知の性質を用いることで、次のように表すこともできる。

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【ゼータ関数の対称形式】
原文

$${\displaystyle \Pi(\frac{s}{2}-1) \pi^{-\frac{s}{2}} \zeta(s)}$$

bleibt ungeändert, wenn $${\displaystyle \footnotesize s}$$ in $${\displaystyle \footnotesize 1-s}$$ verwandelt wird.
⸻
日本語訳

$${\displaystyle \Pi(\frac{s}{2}-1) \pi^{-\frac{s}{2}} \zeta(s)}$$

は$${\displaystyle \footnotesize s}$$を$${\displaystyle \footnotesize 1-s}$$に置き換えても不変（不変のまま維持）である。

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第2章　補助関数 xi(t) と「リーマン予想」の提示

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【テータ関数を用いた第2の積分表示の導入】
原文
Diese Eigenschaft der Function veranlafste mich statt $${\displaystyle \footnotesize \Pi(s-1)}$$ das Integral $${\displaystyle \footnotesize \Pi(\dfrac{s}{2}-1)}$$ in dem allgemeinen Gliede der Reihe $${\displaystyle \footnotesize \Sigma \dfrac{1}{n^s}}$$ einzuführen, wodurch man einen sehr bequemen Ausdruck der Funktion $${\displaystyle \footnotesize \zeta(s)}$$ erhält. In der That hat man

$${\displaystyle \footnotesize \dfrac{1}{n^s} \Pi(\dfrac{s}{2}-1) \pi^{-\frac{s}{2}} = \int_0^\infty e^{-n^2\pi x} x^{\frac{s}{2}-1} dx,}$$

also, wenn man

$${\displaystyle \footnotesize \sum_{1}^\infty e^{-n^2\pi x} = \psi(x)}$$

setzt,

$${\displaystyle \footnotesize \Pi(\dfrac{s}{2}-1) \pi^{-\frac{s}{2}} \zeta(s) = \int_0^\infty \psi(x) x^{\frac{s}{2}-1} dx,}$$

⸻
日本語訳
関数のこの性質により、私は級数$${\displaystyle \footnotesize \Sigma \frac{1}{n^s}}$$の一般項において$${\displaystyle \footnotesize \Pi(s-1)}$$の代わりに積分$${\displaystyle \footnotesize \Pi(\frac{s}{2}-1)}$$を導入することを思い至った。これにより、関数$${\displaystyle \footnotesize \zeta(s)}$$の非常に便利な表現が得られる。実際に、以下が成り立つ。

$${\displaystyle \footnotesize \dfrac{1}{n^s} \Pi(\dfrac{s}{2}-1) \pi^{-\frac{s}{2}} = \int_0^\infty e^{-n^2\pi x} x^{\frac{s}{2}-1} dx,}$$

したがって、ここで以下のように

$${\displaystyle \footnotesize \sum_{1}^\infty e^{-n^2\pi x} = \psi(x)}$$

と置くと、

$${\displaystyle \footnotesize \Pi(\dfrac{s}{2}-1) \pi^{-\frac{s}{2}} \zeta(s) = \int_0^\infty \psi(x) x^{\frac{s}{2}-1} dx,}$$

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【ヤコビの変換公式の引用】
原文
oder da $${\displaystyle \footnotesize 2\psi(x) + 1 = x^{-\frac{1}{2}} (2\psi(\dfrac{1}{x}) + 1),}$$
(Jacobi. Fund. S. 184)
⸻
日本語訳
あるいは$${\displaystyle \footnotesize 2\psi(x) + 1 = x^{-\frac{1}{2}} (2\psi(\dfrac{1}{x}) + 1)}$$であるため
(ヤコビ著『基礎論』184ページ)

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【積分経路の分割と最終的な対称形式への変形】
原文

$${\displaystyle \footnotesize \Pi(\frac{s}{2}-1) \pi^{-\frac{s}{2}} \zeta(s) = \int_1^\infty \psi(x) x^{\frac{s}{2}-1} dx + \int_0^1 \psi(\frac{1}{x}) x^{\frac{s}{2}-\frac{3}{2}} dx + \frac{1}{2} \int_0^1 (x^{\frac{s}{2}-\frac{3}{2}} - x^{\frac{s}{2}-1}) dx}$$

$${\displaystyle \footnotesize = \frac{1}{s(s-1)} + \int_1^\infty \psi(x) (x^{\frac{s}{2}-1} + x^{-\frac{s}{2}-\frac{1}{2}}) dx.}$$

⸻
日本語訳

$${\displaystyle \footnotesize \Pi(\frac{s}{2}-1) \pi^{-\frac{s}{2}} \zeta(s) = \int_1^\infty \psi(x) x^{\frac{s}{2}-1} dx + \int_0^1 \psi(\frac{1}{x}) x^{\frac{s}{2}-\frac{3}{2}} dx + \frac{1}{2} \int_0^1 (x^{\frac{s}{2}-\frac{3}{2}} - x^{\frac{s}{2}-1}) dx}$$

$${\displaystyle \footnotesize = \frac{1}{s(s-1)} + \int_1^\infty \psi(x) (x^{\frac{s}{2}-1} + x^{-\frac{s}{2}-\frac{1}{2}}) dx.}$$

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【変数 t と新しい関数$${\displaystyle \footnotesize \xi(t)}$$の定義】
原文
Ich setze nun $${\displaystyle \footnotesize s = \dfrac{1}{2} + ti}$$ und

$${\displaystyle \footnotesize \Pi(\dfrac{s}{2}) (s-1) \pi^{-\frac{s}{2}} \zeta(s) = \xi(t),}$$

so dafs

$${\displaystyle \footnotesize \xi(t) = \dfrac{1}{2} - (tt + \dfrac{1}{4}) \int_1^\infty \psi(x) x^{-\frac{3}{4}} \cos(\dfrac{1}{2} t \log x) dx}$$

oder auch

$${\displaystyle \footnotesize \xi(t) = 4 \int_1^\infty \dfrac{d(x^{\frac{3}{4}} \psi'(x))}{dx} x^{-\frac{1}{4}} \cos(\dfrac{1}{2} t \log x) dx.}$$

⸻
日本語訳
私は今$${\displaystyle \footnotesize s = \frac{1}{2} + ti}$$と置き、

$${\displaystyle \footnotesize \Pi(\dfrac{s}{2}) (s-1) \pi^{-\frac{s}{2}} \zeta(s) = \xi(t),}$$

と定義する。これにより、

$${\displaystyle \footnotesize \xi(t) = \dfrac{1}{2} - (t^2 + \dfrac{1}{4}) \int_1^\infty \psi(x) x^{-\frac{3}{4}} \cos(\dfrac{1}{2} t \log x) dx}$$

あるいは次のようにも書ける。

$${\displaystyle \footnotesize \xi(t) = 4 \int_1^\infty \dfrac{d(x^{\frac{3}{4}} \psi'(x))}{dx} x^{-\frac{1}{4}} \cos(\dfrac{1}{2} t \log x) dx.}$$

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【零点の存在範囲についての議論・「リーマン予想」の提示】
原文
Diese Function ist für alle endlichen Werthe von $${\displaystyle \footnotesize t}$$ endlich, und läfst sich nach Potenzen von $${\displaystyle \footnotesize tt}$$ in eine sehr schnell convergirende Reihe entwickeln. Da für einen Werth von $${\displaystyle \footnotesize s}$$, dessen reeller Bestandtheil gröfser als $${\displaystyle \footnotesize 1}$$ ist, $${\displaystyle \footnotesize \log \zeta(s) = - \Sigma \log(1 - p^{-s})}$$ endlich bleibt und von den Logarithmen der übrigen Factoren von $${\displaystyle \footnotesize \xi(t)}$$ dasselbe gilt, so kann die Function $${\displaystyle \footnotesize \xi(t)}$$ nur verschwinden, wenn der imaginäre Theil von $${\displaystyle \footnotesize t}$$ zwischen $${\displaystyle \footnotesize \dfrac{1}{2}i}$$ und $${\displaystyle \footnotesize -\dfrac{1}{2}i}$$ liegt. Die Anzahl der Wurzeln von $${\displaystyle \footnotesize \xi(t) = 0}$$, deren reeller Theil zwischen $${\displaystyle \footnotesize 0}$$ und $${\displaystyle \footnotesize T}$$ liegt, ist etwa $${\displaystyle \footnotesize = \dfrac{T}{2\pi} \log \dfrac{T}{2\pi} - \dfrac{T}{2\pi};}$$ denn das Integral $${\displaystyle \footnotesize \int d \log \xi(t)}$$ positiv um den Inbegriff der Werthe von $${\displaystyle \footnotesize t}$$ erstreckt, deren imaginärer Theil zwischen $${\displaystyle \footnotesize \dfrac{1}{2}i}$$ und $${\displaystyle \footnotesize -\dfrac{1}{2}i}$$ und deren reeller Theil zwischen $${\displaystyle \footnotesize 0}$$ und $${\displaystyle \footnotesize T}$$ liegt,ist, (bis auf einen Bruchtheil von der Ordnung der Gröfser $${\displaystyle \footnotesize \dfrac{1}{T})}$$ gleich $${\displaystyle \footnotesize (T \log \dfrac{T}{2\pi} - T)i}$$; dieses Integral aber ist gleich der Anzahl der in diesem Gebiet liegenden Wurzeln von $${\displaystyle \footnotesize \xi(t) = 0,}$$ multiplicirt mit $${\displaystyle \footnotesize 2\pi i}$$. Man findet nun in der That etwa so viel reelle Wurzeln innerhalb dieser Grenzen, und es ist sehr wahrscheinlich, dafs alle Wurzeln reell sind. Hievon wäre allerdings ein strenger Beweis zu wünschen; ich habe indels die Aufsuchung desselben, nach einigen flüchtigen vergeblichen Versuchen vorläufig bei Seite gelassen, da er für den nächsten Zweck meiner Untersuchung entbehrlich schien.
⸻
日本語訳
この関数は$${\displaystyle \footnotesize t}$$のすべての有限の値に対して有限（正則）であり$${\displaystyle \footnotesize t^2}$$のべき乗によって非常に急速に収束する級数に展開できる。$${\displaystyle \footnotesize s}$$の実部が$${\displaystyle \footnotesize 1}$$より大きい値に対しては$${\displaystyle \footnotesize \log \zeta(s) = - \Sigma \log(1 - p^{-s})}$$は有限にとどまり$${\displaystyle \footnotesize \xi(t)}$$の他の因子の対数についても同様のことが言えるため、関数 $${\displaystyle \footnotesize \xi(t)}$$が消滅する（0になる）ことができるのは$${\displaystyle \footnotesize t}$$の虚部が$${\displaystyle \footnotesize \dfrac{1}{2}i}$$と$${\displaystyle \footnotesize -\dfrac{1}{2}i}$$の間にあるときに限られる。
$${\displaystyle \footnotesize \xi(t) = 0}$$の根（解）のうち、実部が$${\displaystyle \footnotesize 0}$$と$${\displaystyle \footnotesize T}$$の間にあるものの個数は、おおよそ $${\displaystyle \footnotesize = \dfrac{T}{2\pi} \log \dfrac{T}{2\pi} - \dfrac{T}{2\pi}}$$である。なぜなら、虚部が$${\displaystyle \footnotesize \dfrac{1}{2}i}$$と$${\displaystyle \footnotesize -\dfrac{1}{2}i}$$の間にあり、実部が$${\displaystyle \footnotesize 0}$$と$${\displaystyle \footnotesize T}$$の間にあるような$${\displaystyle \footnotesize t}$$の値の全域を正の方向に巡る積分$${\displaystyle \footnotesize \int d \log \xi(t)}$$は、
（$${\displaystyle \footnotesize  \dfrac{1}{T}}$$の大きさのオーダーの端数を除いて） $${\displaystyle \footnotesize (T \log \dfrac{T}{2\pi} - T)i}$$に等しくなるからである。そしてこの積分は、この領域内に存在する$${\displaystyle \footnotesize \xi(t) = 0}$$の根の個数に$${\displaystyle \footnotesize 2\pi i}$$を掛けたものに等しい。
実際にこれらの境界の内部には、ほぼこれと同数の実数の根が見出され、そしてすべての根が実数であるということは極めて有力(確率が高い)と思われる。これについては確かに厳密な証明が望まれるところであるが、私はいくつかの形式的で無駄な試みの後、この証明の探索をひとまず脇に置くことにした。なぜなら、それは私の調査のさしあたりの目的には不要であると思われたからである。

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第3章　xi(t)の因数分解(無限積展開)

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【$${\displaystyle \footnotesize \xi(t)}$$の無限積展開・因数分解定理の先駆け】
原文
Bezeichnet man durch $${\displaystyle \footnotesize \alpha}$$ jede Wurzel der Gleichung $${\displaystyle \footnotesize \xi(\alpha)=0}$$, so kann man $${\displaystyle \footnotesize \log \xi(t)}$$ durch

$${\displaystyle \footnotesize \Sigma \log(1 - \dfrac{tt}{\alpha\alpha}) + \log \xi(0)}$$

ausdrücken; denn da die Dichtigkeit der Wurzeln von der Gröfse $${\displaystyle \footnotesize t}$$ mit $${\displaystyle \footnotesize t}$$ nur wie $${\displaystyle \footnotesize \log \frac{t}{2\pi}}$$ wächst, so convergirt dieser Ausdruck und wird für ein unendliches $${\displaystyle \footnotesize t}$$ nur unendlich wie $${\displaystyle \footnotesize t \log t}$$; er unterscheidet sich also von $${\displaystyle \footnotesize \log \xi(t)}$$ um eine Function von $${\displaystyle \footnotesize tt}$$, die für ein endliches $${\displaystyle \footnotesize t}$$ stetig und endlich bleibt und mit $${\displaystyle \footnotesize tt}$$ dividirt für ein unendliches $${\displaystyle \footnotesize t}$$ unendlich klein wird. Dieser Unterschied ist folglich eine Constante, deren Werth durch Einsetzung von $${\displaystyle \footnotesize t=0}$$ bestimmt werden kann.
⸻
日本語訳
方程式$${\displaystyle \footnotesize \xi(\alpha)=0}$$の各々の根を$${\displaystyle \footnotesize \alpha}$$と表すことにすると$${\displaystyle \footnotesize \log \xi(t)}$$は次のように表すことができる。

$${\displaystyle \footnotesize \Sigma \log(1 - \dfrac{t^2}{\alpha^2}) + \log \xi(0)}$$

なぜなら、根の密度は$${\displaystyle \footnotesize t}$$の大きさに対して$${\displaystyle \footnotesize t}$$とともにおおよそ$${\displaystyle \footnotesize \log \frac{t}{2\pi} }$$のようにしか増大しないため、この式は収束し、無限大の$${\displaystyle \footnotesize t}$$に対して$${\displaystyle \footnotesize t \log t}$$のように無限大になるだけだからである。したがって、この式は$${\displaystyle \footnotesize \log \xi(t)}$$と$${\displaystyle \footnotesize t^2}$$の関数（の差）だけ異なっており、その関数は有限の$${\displaystyle \footnotesize t}$$に対して連続かつ有限であり続け$${\displaystyle \footnotesize t^2}$$で割ると無限大の$${\displaystyle \footnotesize t}$$に対して無限小になる。ゆえに、この差は定数であり、その値は$${\displaystyle \footnotesize t=0}$$を代入することによって決定できる。

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第4章　素数計数関数へのアプローチ

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【素数個数関数の導入】
原文
Mit diesen Hülfsmitteln läfst sich nun die Anzahl der Primzahlen, die kleiner als $${\displaystyle \footnotesize x}$$ sind, bestimmen.
Es sei $${\displaystyle \footnotesize F(x)}$$, wenn $${\displaystyle \footnotesize x}$$ nicht gerade einer Primzahl gleich ist, gleich dieser Anzahl, wenn aber $${\displaystyle \footnotesize x}$$ eine Primzahl ist, um $${\displaystyle \footnotesize \dfrac{1}{2}}$$ gröfser, so dafs für ein $${\displaystyle \footnotesize x}$$, bei welchem $${\displaystyle \footnotesize F(x)}$$ sich sprungweise ändert,

$${\displaystyle \footnotesize F(x) = \dfrac{F(x+0)+F(x-0)}{2}.}$$

Ersetzt man nun in

$${\displaystyle \footnotesize \log \zeta(s) = -\Sigma \log(1-p^{-s}) = \Sigma p^{-s} + \dfrac{1}{2} \Sigma p^{-2s} + \dfrac{1}{3} \Sigma p^{-3s} + \dots}$$

$${\displaystyle \footnotesize p^{-s}}$$ durch $${\displaystyle \footnotesize s \int_p^\infty x^{-s-1} dx, \; p^{-2s}}$$ durch $${\displaystyle \footnotesize s \int_{p^2}^\infty x^{-s-1} dx, \; \dots,}$$

so erhält man

$${\displaystyle \footnotesize \dfrac{\log \zeta(s)}{s} = \int_1^\infty f(x) x^{-s-1} dx,}$$

wenn man

$${\displaystyle \footnotesize F(x) + \dfrac{1}{2} F(x^{\frac{1}{2}}) + \dfrac{1}{3} F(x^{\frac{1}{3}}) + \dots}$$

durch $${\displaystyle \footnotesize f(x)}$$ bezeichnet.
⸻
日本語訳
これらの補助手段を用いることで$${\displaystyle \footnotesize x}$$より小さい素数の個数を決定することができる。
$${\displaystyle \footnotesize x}$$がちょうど素数に等しくないときは$${\displaystyle \footnotesize F(x)}$$をこの個数（素数の個数）に等しいものとし、ただし$${\displaystyle \footnotesize x}$$が素数であるときは、それより $${\displaystyle \footnotesize \dfrac{1}{2}}$$だけ大きいものとする。したがって$${\displaystyle \footnotesize F(x)}$$が不連続に（ジャンプして）変化するような$${\displaystyle \footnotesize x}$$に対しては、
いま、次の式において

$${\displaystyle \footnotesize F(x) = \dfrac{F(x+0)+F(x-0)}{2}.}$$

置き換えると、次が得られる。

$${\displaystyle \footnotesize \log \zeta(s) = -\Sigma \log(1-p^{-s}) = \Sigma p^{-s} + \dfrac{1}{2} \Sigma p^{-2s} + \dfrac{1}{3} \Sigma p^{-3s} + \dots}$$$${\displaystyle \footnotesize p^{-s}}$$

$${\displaystyle \footnotesize s \int_p^\infty x^{-s-1} dx, \; p^{-2s}}$$
$${\displaystyle \footnotesize s \int_{p^2}^\infty x^{-s-1} dx, \; \dots,}$$

$${\displaystyle \footnotesize \dfrac{\log \zeta(s)}{s} = \int_1^\infty f(x) x^{-s-1} dx,}$$

ここで、次のように

$${\displaystyle \footnotesize F(x) + \dfrac{1}{2} F(x^{\frac{1}{2}}) + \dfrac{1}{3} F(x^{\frac{1}{3}}) + \dots}$$

を$${\displaystyle \footnotesize f(x)}$$と表すものとする。

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【式の有効範囲と次なる一般形式の提示】
原文
Diese Gleichung ist gültig für jeden complexen Werth $${\displaystyle \footnotesize a+bi}$$ von $${\displaystyle \footnotesize s}$$, wenn $${\displaystyle \footnotesize a>1}$$. Wenn aber in diesem Umfange die Gleichung

$${\displaystyle \footnotesize g(s) = \int_0^\infty h(x) x^{-s} d\log x}$$

⸻
日本語訳
この方程式は$${\displaystyle \footnotesize a>1}$$ のとき$${\displaystyle \footnotesize s}$$の任意の複素数の値$${\displaystyle \footnotesize a+bi}$$に対して有効である。しかし、この範囲において、方程式

$${\displaystyle \footnotesize g(s) = \int_0^\infty h(x) x^{-s} d\log x}$$

（が成り立つならば……次ページへ続く）

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【フーリエの定理の適用と実部・虚部の分解】
原文
gilt, so kann man mit Hülfe des Fourier'schen Satzes die Function $${\displaystyle \footnotesize h}$$ durch die Function $${\displaystyle \footnotesize g}$$ ausdrücken. Die Gleichung zerfällt, wenn $${\displaystyle \footnotesize h(x)}$$ reell ist und

$${\displaystyle \footnotesize g(a + bi) = g_1(b) + i g_2(b),}$$

in die beiden folgenden

$${\displaystyle \footnotesize g_1(b) = \int_0^\infty h(x) x^{-a} \cos(b \log x) d\log x,}$$

$${\displaystyle \footnotesize i g_2(b) = -i \int_0^\infty h(x) x^{-a} \sin(b \log x) d\log x.}$$

⸻
日本語訳
（前ページから続く：が成り立つ）ならば、フーリエの定理の助けを借りて、関数$${\displaystyle \footnotesize h}$$を関数$${\displaystyle \footnotesize g}$$によって表すことができる。$${\displaystyle \footnotesize h(x)}$$が実数であり、

$${\displaystyle \footnotesize g(a + bi) = g_1(b) + i g_2(b),}$$

であるとき、この方程式は次の二つに分解される。

$${\displaystyle \footnotesize g_1(b) = \int_0^\infty h(x) x^{-a} \cos(b \log x) d\log x,}$$

$${\displaystyle \footnotesize i g_2(b) = -i \int_0^\infty h(x) x^{-a} \sin(b \log x) d\log x.}$$

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【反転公式の合成と積分形式の導出】
原文
Wenn man beide Gleichungen mit $${\displaystyle \footnotesize (\cos(b \log y) + i \sin(b \log y)) db}$$ multiplicirt und von $${\displaystyle \footnotesize -\infty}$$ bis $${\displaystyle \footnotesize \infty}$$ integrirt, so erhält man in beiden auf der rechten Seite nach dem Fourier'schen Satze $${\displaystyle \footnotesize \pi h(y) y^{-a}}$$, also, wenn man beide Gleichungen addirt und mit $${\displaystyle \footnotesize i y^a}$$ multiplicirt

$${\displaystyle \footnotesize 2 \pi i h(y) = \int_{a-\infty i}^{a+\infty i} g(s) y^s ds,}$$

worin die Integration so auszuführen ist, dafs der reelle Theil von $${\displaystyle \footnotesize s}$$ constant bleibt.
⸻
日本語訳
両々の方程式に $${\displaystyle \footnotesize (\cos(b \log y) + i \sin(b \log y)) db}$$を掛け$${\displaystyle \footnotesize -\infty}$$から$${\displaystyle \footnotesize \infty}$$まで積分すると、フーリエの定理により、両方の右辺において$${\displaystyle \footnotesize \pi h(y) y^{-a}}$$が得られる。したがって、両々の方程式を足し合わせて$${\displaystyle \footnotesize i y^a}$$を掛けると、

$${\displaystyle \footnotesize 2 \pi i h(y) = \int_{a-\infty i}^{a+\infty i} g(s) y^s ds,}$$

となる。ここで積分は$${\displaystyle \footnotesize s}$$の実部が一定（定数）に保たれるように実行されるものとする。

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【一般論から素数計数関数 f(y) への適用】
原文
Das Integral stellt für einen Werth von $${\displaystyle \footnotesize y}$$, bei welchem eine sprungweise Änderung der Function $${\displaystyle \footnotesize h(y)}$$ stattfindet, den Mittelwerth aus den Werthen der Function $${\displaystyle \footnotesize h}$$ zu beiden Seiten des Sprunges dar. Bei der hier vorausgesetzten Bestimmungsweise der Function $${\displaystyle \footnotesize f(x)}$$ besitzt diese dieselbe Eigenschaft, und man hat daher völlig allgemein

$${\displaystyle \footnotesize f(y) = \dfrac{1}{2 \pi i} \int_{a-\infty i}^{a+\infty i} \dfrac{\log \zeta(s)}{s} y^s ds.}$$

⸻
日本語訳
この積分は、関数$${\displaystyle \footnotesize h(y)}$$の不連続な変化（ジャンプ）が起こるような$${\displaystyle \footnotesize y}$$の値に対して、そのジャンプの両側における関数$${\displaystyle \footnotesize h}$$の値の平均値を表している。ここで前提とされている関数$${\displaystyle \footnotesize f(x)}$$の決定方法（定義）においても、この関数はまったく同じ性質を有している。したがって、完全に一般に次が成り立つ。

$${\displaystyle \footnotesize f(y) = \dfrac{1}{2 \pi i} \int_{a-\infty i}^{a+\infty i} \dfrac{\log \zeta(s)}{s} y^s ds.}$$

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第5章　リーマンの明示公式(Explicit Formula)

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【$${\displaystyle \footnotesize \bf \log\zeta(s)}$$の因数分解式の代入と部分積分の必要性】

原文
Für $${\displaystyle \footnotesize \log \zeta}$$ kann man nun den früher gefundenen Ausdruck

$${\displaystyle \footnotesize \dfrac{s}{2} \log \pi - \log(s-1) - \log \Pi \dfrac{s}{2} + \log(1 + \dfrac{(s-\frac{1}{2})^2}{\alpha\alpha}) + \log \xi(0)}$$

substituiren; die Integrale der einzelnen Glieder dieses Ausdrucks würden aber dann in's Unendliche ausgedehnt nicht convergiren, weshalb es zweckmäfsig ist, die Gleichung vorher durch partielle Integration in
⸻
日本語訳
いま$${\displaystyle \footnotesize \log \zeta}$$に対して、以前に得られた表現

$${\displaystyle \footnotesize \dfrac{s}{2} \log \pi - \log(s-1) - \log \Pi \dfrac{s}{2} + \log(1 + \dfrac{(s-\frac{1}{2})^2}{\alpha^2}) + \log \xi(0)}$$

を代入することができる。しかし、この表現の個々の項の積分は、無限大まで拡張したときに収束しない。そのため、あらかじめ部分積分によって、この方程式を（次ページへ続く：～に変形することが好都合である。）

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【部分積分の実行結果】
原文

$${\displaystyle \footnotesize f(x) = - \dfrac{1}{2\pi i} \dfrac{1}{\log x} \int_{a-\infty i}^{a+\infty i} \dfrac{d \frac{\log \zeta(s)}{s}}{ds} x^s ds}$$

umzuformen.
Da

$${\displaystyle \footnotesize - \log \Pi \dfrac{s}{2} = \lim \left( \sum_{n=1}^{n=m} \log(1 + \dfrac{s}{2n}) - \dfrac{s}{2} \log m \right)}$$,  für $${\displaystyle \footnotesize m=\infty,}$$

also

$${\displaystyle \footnotesize - \dfrac{d \dfrac{1}{s} \log \Pi \dfrac{s}{2}}{ds} = \sum_{1}^\infty \dfrac{d \dfrac{1}{s} \log(1 + \dfrac{s}{2n})}{ds},}$$

so erhalten dann sämmtliche Glieder des Ausdrucks für $${\displaystyle \footnotesize f(x)}$$ mit Ausnahme von

$${\displaystyle \footnotesize \dfrac{1}{2\pi i} \frac{1}{\log x} \int_{a-\infty i}^{a+\infty i} \frac{1}{ss} \log \xi(0) x^s ds = \log \xi(0)}$$

die Form

$${\displaystyle \footnotesize \pm \dfrac{1}{2\pi i} \dfrac{1}{\log x} \int_{a-\infty i}^{a+\infty i} \dfrac{d \left( \dfrac{1}{s} \log(1 - \dfrac{s}{\beta}) \right)}{ds} x^s ds.}$$

Nun ist aber
⸻
日本語訳

$${\displaystyle \footnotesize f(x) = - \dfrac{1}{2\pi i} \dfrac{1}{\log x} \int_{a-\infty i}^{a+\infty i} \dfrac{d \frac{\log \zeta(s)}{s}}{ds} x^s ds}$$

へと変形する。
ここで、

$${\displaystyle \footnotesize - \log \Pi \dfrac{s}{2} = \lim \left( \sum_{n=1}^{n=m} \log(1 + \dfrac{s}{2n}) - \dfrac{s}{2} \log m \right)}$$,  für $${\displaystyle \footnotesize m=\infty,}$$

であり、したがって

$${\displaystyle \footnotesize - \dfrac{d \dfrac{1}{s} \log \Pi \dfrac{s}{2}}{ds} = \sum_{1}^\infty \dfrac{d \dfrac{1}{s} \log(1 + \dfrac{s}{2n})}{ds},}$$

となる。これにより、以下を除く$${\displaystyle \footnotesize f(x)}$$の表現のすべての項は、

$${\displaystyle \footnotesize \dfrac{1}{2\pi i} \frac{1}{\log x} \int_{a-\infty i}^{a+\infty i} \frac{1}{s^2} \log \xi(0) x^s ds = \log \xi(0)}$$

（……を除くすべての項は、次の）形（をとる。）

$${\displaystyle \footnotesize \pm \dfrac{1}{2\pi i} \dfrac{1}{\log x} \int_{a-\infty i}^{a+\infty i} \dfrac{d \left( \dfrac{1}{s} \log(1 - \dfrac{s}{\beta}) \right)}{ds} x^s ds.}$$

しかし、ここで次が成り立つ。

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【一般項の微分変形】
原文

$${\displaystyle \footnotesize \dfrac{d \left( \dfrac{1}{s} \log(1 - \dfrac{s}{\beta}) \right)}{d\beta} = \dfrac{1}{(\beta-s)\beta}}$$

und, wenn der reelle Theil von $${\displaystyle \footnotesize s}$$ gröfser als der reelle Theil von $${\displaystyle \footnotesize \beta}$$ ist,
⸻
日本語訳

$${\displaystyle \footnotesize \dfrac{d \left( \dfrac{1}{s} \log(1 - \dfrac{s}{\beta}) \right)}{d\beta} = \dfrac{1}{(\beta-s)\beta}}$$

であり、また$${\displaystyle \footnotesize s}$$の実部が$${\displaystyle \footnotesize \beta}$$の実部よりも大きいとき、

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【有理式の複素積分と実積分への帰着】
原文

$${\displaystyle \footnotesize \dfrac{1}{2\pi i} \int_{a-\infty i}^{a+\infty i} \dfrac{x^s ds}{(\beta-s)\beta} = \dfrac{x^\beta}{\beta} = \int_\infty^x x^{\beta-1} dx,}$$

oder  $${\displaystyle \footnotesize = \int_0^x x^{\beta-1} dx,}$$

je nachdem der reelle Theil von $${\displaystyle \footnotesize \beta}$$ negativ oder positiv ist.
Man hat daher
⸻
日本語訳

$${\displaystyle \footnotesize \dfrac{1}{2\pi i} \int_{a-\infty i}^{a+\infty i} \dfrac{x^s ds}{(\beta-s)\beta} = \dfrac{x^\beta}{\beta} = \int_\infty^x x^{\beta-1} dx,}$$

$${\displaystyle \footnotesize = \int_0^x x^{\beta-1} dx,}$$

これは$${\displaystyle \footnotesize \beta}$$の実部が負であるか、あるいは正であるかに応じる。
したがって、次が得られる。

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【一般項の最終的な積分表示の提示】
原文

$${\displaystyle \footnotesize \dfrac{1}{2\pi i} \dfrac{1}{\log x} \int_{a-\infty i}^{a+\infty i} \dfrac{d \left( \dfrac{1}{s} \log(1 - \dfrac{s}{\beta}) \right)}{ds} x^s ds}$$

⸻
日本語訳

$${\displaystyle \footnotesize \dfrac{1}{2\pi i} \dfrac{1}{\log x} \int_{a-\infty i}^{a+\infty i} \dfrac{d \left( \dfrac{1}{s} \log(1 - \dfrac{s}{\beta}) \right)}{ds} x^s ds}$$

-------------------------------------------------

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【一般項の積分結果と対数積分への帰着】
原文

$${\displaystyle \footnotesize = - \dfrac{1}{2\pi i} \int_{a-\infty i}^{a+\infty i} \dfrac{1}{s} \log(1 - \dfrac{s}{\beta}) x^s ds}$$

$${\displaystyle \footnotesize = \int_\infty^x \dfrac{x^{\beta-1}}{\log x} dx +}$$ const. im ersten

und

$${\displaystyle \footnotesize = \int_0^x \dfrac{x^{\beta-1}}{\log x} dx +}$$ const. im zweiten Falle.

⸻
日本語訳

$${\displaystyle \footnotesize = - \dfrac{1}{2\pi i} \int_{a-\infty i}^{a+\infty i} \dfrac{1}{s} \log(1 - \dfrac{s}{\beta}) x^s ds}$$

$${\displaystyle \footnotesize = \int_\infty^x \dfrac{x^{\beta-1}}{\log x} dx +}$$定数　第1の場合

および

$${\displaystyle \footnotesize = \int_0^x \dfrac{x^{\beta-1}}{\log x} dx +}$$ 定数　第2の場合

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【積分定数の決定に関する議論）】
原文
Im ersten Falle bestimmt sich die Integrationsconstante, wenn man den reellen Theil von $${\displaystyle \footnotesize = \beta}$$ negativ unendlich werden läfst; im zweiten Falle erhält das Integral von $${\displaystyle \footnotesize = 0}$$ bis $${\displaystyle \footnotesize = x}$$ um $${\displaystyle \footnotesize = 2\pi i}$$ verschiedene Werthe, je nachdem die Integration durch complexe Werthe mit positiven oder negativen Arcus geschieht, und wird, auf jenem Wege genommen, unendlich klein, wenn der Coefficient von $${\displaystyle \footnotesize = i}$$ in dem Werthe von $${\displaystyle \footnotesize = \beta}$$ positiv unendlich wird, auf letzterem aber, wenn dieser Coefficient negativ unendlich wird. Hieraus ergiebt sich, wie auf der linken Seite $${\displaystyle \footnotesize = \log(1 - \dfrac{s}{\beta})}$$ zu bestimmen ist, damit die Integrationsconstante wegfällt.
⸻
日本語訳
第一のケースにおいては$${\displaystyle \footnotesize = \beta}$$の実部を負の無限大に近づけることによって積分定数が決定される。第二のケースにおいては$${\displaystyle \footnotesize = 0}$$から$${\displaystyle \footnotesize = x}$$までの積分は、正または負の偏角（アルクス）を持つ複素数の値を通じて積分が行われるかどうかに応じて$${\displaystyle \footnotesize = 2\pi i}$$だけ異なる値をとる。そして、前者の経路をとるならば$${\displaystyle \footnotesize = \beta}$$の値における$${\displaystyle \footnotesize = i}$$の係数（虚部）が正の無限大になるときに積分は無限小となり、後者の経路をとるならば、この係数が負の無限大になるときに無限小となる。ここから、左辺の$${\displaystyle \footnotesize = \log(1 - \dfrac{s}{\beta})}$$をどのように決定すれば積分定数が消去（相殺）されるかが導かれる。

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【素数計数関数 $${\displaystyle \footnotesize f(x)}$$の明示公式の提示】
原文
Durch Einsetzung dieser Werthe in den Ausdruck für $${\displaystyle \footnotesize f(x)}$$ erhält man

$${\displaystyle \footnotesize f(x) = Li(x) - \Sigma^\alpha (\text{Li}(x^{\frac{1}{2}+\alpha i}) + Li(x^{\frac{1}{2}-\alpha i})) + \int_x^\infty \dfrac{1}{x^2-1} \dfrac{dx}{x \log x} + \log \xi(0),}$$

⸻
日本語訳
これらの値を$${\displaystyle \footnotesize f(x)}$$ の表現に代入することにより、次が得られる。

$${\displaystyle \footnotesize f(x) = Li(x) - \Sigma^\alpha (\text{Li}(x^{\frac{1}{2}+\alpha i}) + Li(x^{\frac{1}{2}-\alpha i})) + \int_x^\infty \dfrac{1}{x^2-1} \dfrac{dx}{x \log x} + \log \xi(0),}$$

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第6章　実際の数値データとの比較(結論)

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【零点に関する総和の順序と収束性の補足】
原文
wenn in $${\displaystyle \footnotesize \Sigma^\alpha}$$ für $${\displaystyle \footnotesize \alpha}$$ sämmtliche positiven (oder einen positiven reellen Theil enthaltenden) Wurzeln der Gleichung $${\displaystyle \footnotesize \xi(\alpha)=0}$$, ihrer Gröfse nach geordnet, gesetzt werden. Es läfst sich, mit Hülfe einer genaueren Discussion der Function $${\displaystyle \footnotesize \xi}$$, leicht zeigen, dafs bei dieser Anordnung der Werth der Reihe

$${\displaystyle \footnotesize \Sigma Li(x^{\frac{1}{2}+\alpha i}) +Li(x^{\frac{1}{2}-\alpha i})) \log x}$$

mit dem Grenzwerth, gegen welchen

$${\displaystyle \footnotesize \dfrac{1}{2\pi i} \int_{a-bi}^{a+bi} \dfrac{d \dfrac{1}{s} \log(1 + \dfrac{(s-\frac{1}{2})^2}{\alpha\alpha})}{ds} x^s ds}$$

⸻
日本語訳
ただし$${\displaystyle \footnotesize \Sigma^\alpha}$$においては、方程式$${\displaystyle \footnotesize \xi(\alpha)=0}$$のすべての正の（あるいは正の実部を含む）根が、その大きさの順に並べられて$${\displaystyle \footnotesize \alpha}$$に代入されるものとする。関数$${\displaystyle \footnotesize \xi}$$のより詳細な議論の助けを借りれば、このような配置（順序）において、級数

$${\displaystyle \footnotesize \Sigma Li(x^{\frac{1}{2}+\alpha i}) +Li(x^{\frac{1}{2}-\alpha i})) \log x}$$

の値が、次の式が近づく極限値と（等しくなることを容易に示すことができる……次ページへ続く）

$${\displaystyle \footnotesize \dfrac{1}{2\pi i} \int_{a-bi}^{a+bi} \dfrac{d \dfrac{1}{s} \log(1 + \dfrac{(s-\frac{1}{2})^2}{\alpha^2})}{ds} x^s ds}$$

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【無限和の収束性と条件収束の性質】
原文
bei unaufhörlichem Wachsen der Grölse $${\displaystyle \footnotesize b}$$ convergirt, übereinstimmt; durch veränderte Anordnung aber würde sie jeden beliebigen reellen Werth erhalten können.
⸻
日本語訳
（前ページから続く：大きさ$${\displaystyle \footnotesize b}$$が絶え間なく増大するときに収束する値）と一致する。しかし、配置（足す順序）を変更したならば、それは任意のいかなる実数値をもとり得る。

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【メビウスの反転公式による F(x) の導出】
原文
Aus $${\displaystyle \footnotesize f(x)}$$ findet sich $${\displaystyle \footnotesize F(x)}$$ mittelst der durch Umkehrung der Relation

$${\displaystyle \footnotesize f(x) = \Sigma \dfrac{1}{n} F(x^{\frac{1}{n}})}$$

sich ergebenden Gleichung

$${\displaystyle \footnotesize F(x) = \Sigma (-1)^\mu \dfrac{1}{m} f(x^{\frac{1}{m}}),}$$

worin für $${\displaystyle \footnotesize m}$$ der Reihe nach die durch kein Quadrat aufser 1 theilbaren Zahlen zu setzen sind und $${\displaystyle \footnotesize \mu}$$ die Anzahl der Primfactoren von $${\displaystyle \footnotesize m}$$ bezeichnet.
⸻
日本語訳
$${\displaystyle \footnotesize f(x)}$$から$${\displaystyle \footnotesize F(x)}$$は、次の関係式の反転によって

$${\displaystyle \footnotesize f(x) = \Sigma \dfrac{1}{n} F(x^{\frac{1}{n}})}$$

得られる方程式

$${\displaystyle \footnotesize F(x) = \Sigma (-1)^\mu \dfrac{1}{m} f(x^{\frac{1}{m}}),}$$

を用いて見出される。ここで$${\displaystyle \footnotesize m}$$には、1以外の平方数で割り切れない（平方因子を持たない）数が順に代入されるものとし$${\displaystyle \footnotesize \mu}$$は$${\displaystyle \footnotesize m}$$の素因数の個数を表す。

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【素数の分布密度と波動項】
原文
Beschränkt man $${\displaystyle \footnotesize \Sigma^\alpha}$$ auf eine endliche Zahl von Gliedern,so giebt die Derivirte des Ausdrucks für $${\displaystyle \footnotesize f(x)}$$ oder, bis auf einen mit wachsendem $${\displaystyle \footnotesize x}$$ sehr schnell abnehmenden Theil,

$${\displaystyle \footnotesize \dfrac{1}{\log x} - 2 \Sigma^\alpha \dfrac{\cos(\alpha \log x) x^{-\frac{1}{2}}}{\log x}}$$

einen angenäherten Ausdruck für die Dichtigkeit der Primzahlen + der halben Dichtigkeit der Primzahlquadrate $${\displaystyle \footnotesize + \dfrac{1}{3}}$$ von der Dichtigkeit der Primzahlcuben u. s. w. von der Grölse $${\displaystyle \footnotesize x.}$$
⸻
日本語訳
もし$${\displaystyle \footnotesize \Sigma^\alpha}$$を有限個の項に制限するならば$${\displaystyle \footnotesize f(x)}$$の式の導関数（微分）、すなわち$${\displaystyle \footnotesize x}$$の増大とともに極めて急速に減少する部分を除けば、

$${\displaystyle \footnotesize \dfrac{1}{\log x} - 2 \Sigma^\alpha \dfrac{\cos(\alpha \log x) x^{-\frac{1}{2}}}{\log x}}$$

は、大きさ x における、素数の密度 + 素数の平方（2乗）の密度の半分 + $${\displaystyle \footnotesize \dots}$$（素数の3乗の密度の3分の1）などの近似的な表現を与える。

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【ガウスの近似式 $${\displaystyle \footnotesize Li(x)}$$の誤差評価】
原文
Die bekannte Näherungsformel $${\displaystyle \footnotesize F(x) = Li(x)}$$ ist also nur bis auf Grölsen von der Ordnung der Grölse $${\displaystyle \footnotesize x^{\frac{1}{2}}}$$ richtig und giebt einen etwas zu grofsen Werth; denn die nicht periodischen Glieder in dem Ausdrucke von $${\displaystyle \footnotesize F(x)}$$ sind, von Grölsen, die mit $${\displaystyle \footnotesize x}$$ nicht in's Unendliche wachsen, abgesehen:

$${\displaystyle \footnotesize Li(x) - \dfrac{1}{2}Li(x^{\frac{1}{2}}) - \dfrac{1}{3} Li(x^{\frac{1}{3}}) - \dfrac{1}{5} Li(x^{\frac{1}{5}}) + \dfrac{1}{6} Li(x^{\frac{1}{6}}) - \dfrac{1}{7} Li(x^{\frac{1}{7}}) + \dots}$$

⸻
日本語訳
したがって、よく知られた近似公式$${\displaystyle \footnotesize F(x) = \text{Li}(x)}$$ は、高々$${\displaystyle \footnotesize x^{\frac{1}{2}}}$$のオーダーの大きさの範囲内でのみ正しく、やや大きすぎる値を与える。なぜなら$${\displaystyle \footnotesize F(x)}$$の表現における非周期的な項（周期を持たない項）は$${\displaystyle \footnotesize x}$$とともに無限大にはならない大きさを除けば、次のようになるからである。

$${\displaystyle \footnotesize Li(x) - \dfrac{1}{2}Li(x^{\frac{1}{2}}) - \dfrac{1}{3} Li(x^{\frac{1}{3}}) - \dfrac{1}{5} Li(x^{\frac{1}{5}}) + \dfrac{1}{6} Li(x^{\frac{1}{6}}) - \dfrac{1}{7} Li(x^{\frac{1}{7}}) + \dots}$$

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【実際の素数データを用いたガウス・ゴールドシュミットの計算との比較】
原文
In der That hat sich bei der von Gaufs und Goldschmidt vorgenommenen und bis zu $${\displaystyle \footnotesize x =}$$ drei Millionen fortgesetzten Vergleichung von $${\displaystyle \footnotesize Li(x)}$$ mit der Anzahl der Primzahlen unter $${\displaystyle \footnotesize x}$$ diese Anzahl schon vom ersten Hunderttausend an stets
⸻
日本語訳
実際に、ガウスとゴールドシュミットによって行われ$${\displaystyle \footnotesize x =}$$ 300万まで進められた$${\displaystyle \footnotesize Li(x)}$$と$${\displaystyle \footnotesize x}$$以下の素数の実際の個数との比較においては、この実際の個数はすでに最初の10万の時点から常に（次ページへ続く： $${\displaystyle \footnotesize Li(x)}$$よりも小さい値をとることが示されている。）

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【実際の素数データとの比較の続き・論文の結びへ】
原文
kleiner als $${\displaystyle \footnotesize Li(x)}$$ ergeben, und zwar wächst die Differenz unter manchen Schwankungen allmählich mit $${\displaystyle \footnotesize x}$$. Aber auch die von den periodischen Gliedern abhängige stellenweise Verdichtung und Verdünnung der Primzahlen hat schon bei den Zählungen die Aufmerksamkeit erregt, ohne dafs jedoch hierin eine Gesetzmäfsigkeit bemerkt worden wäre. Bei einer etwaigen neuen Zählung würde es interessant sein, den Einflufs der einzelnen in dem Ausdrucke für die Dichtigkeit der Primzahlen enthaltenen periodischen Glieder zu verfolgen. Einen regelmäfsigeren Gang als $${\displaystyle \footnotesize F(x)}$$ würde die Function $${\displaystyle \footnotesize f(x)}$$ zeigen, welche sich schon im ersten Hundert sehr deutlich als mit $${\displaystyle \footnotesize Li(x) + \log \xi(0)}$$ im Mittel übereinstimmend erkennen läfst.
⸻
日本語訳
$${\displaystyle \footnotesize Li(x)}$$よりも小さい値であることが判明しており、実際にその差はいくらかの変動を伴いながらも x とともに徐々に増大している。しかし、周期的な項に依存する素数の局所的な「密」および「粗」の状態もまた、すでに数え上げの段階で注目を集めていた。ただし、そこから何らかの法則性が気づかれるまでには至っていなかった。もし将来的に新たな数え上げが行われるならば、素数の分布密度の式に含まれている個々の周期的項の影響を追跡することは興味深いことだろう。本来の素数個数関数$${\displaystyle \footnotesize F(x)}$$よりも、関数$${\displaystyle \footnotesize f(x)}$$の方がより規則的な推移を示すと考えられ、この$${\displaystyle \footnotesize f(x)}$$は最初の「100」までの範囲においてさえ、平均して$${\displaystyle \footnotesize Li(x) + \log \xi(0)}$$と非常によく一致していることがはっきりと認められる。

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3.  Historical supplement.
【歴史的補足】

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この論文全体の数論史上の位置づけ

「与えられた数未満の素数の個数について」
(1859年)
「素数研究を複素関数の世界へと昇華させた、
歴史上最大の転換点」です。
要点は以下の3点に凝縮されます。

1. 解析的数論の誕生
それまで実数の範囲や統計的な予想に留まっていた素数研究に、リーマンは初めて本格的な「複素関数論」を導入しました。これにより、整数という離散的な対象の難問を複素平面上の幾何学的な振る舞いから解き明かす「解析的数論」という巨大な分野が確立されました。

2. 「素数の分布」と「ゼータの零点」の結合
論文の核心である「明示公式」により、素数の個数関数$${\displaystyle \footnotesize \pi(x)}$$⁠の近似式から生じる現実データとの「ズレ」が、ゼータ関数の非自明な零点（波動の和）によって完璧に相殺されることを証明しました。「数（素数）」と「波（関数）」が表裏一体であるという驚くべき事実を初めて提示したのです。

3. 「リーマン予想」による現代数学の牽引
第2章で提示された「ゼータ関数の非自明な零点の実部はすべて$${\displaystyle \footnotesize \dfrac{1}{2}}$$⁠である」という一言は、160年以上経った現代も数学史上最大の未解決難問であり続けています。
この予想は数論のみならず、現代数学・物理学の無数の定理の前提となっています。

ガウスの直感を精密な数式へと変え、
1896年の「素数定理」の証明へ航路を開いた、
わずか8ページの不滅の金字塔です。
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4. 【古典数学】原論文の講読

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