無限に続くかもしれないけれど確率が求まる

ちょっと面白そうな問題をとりあげたいと思います。この問題は先に投稿させていただきました作問メモ①で述べた内容に照らすと良問になります。

問
Ａ、Ｂの２人がそれぞれコインを持っている。ジャンケンをして勝った方が負けた方から１枚コインをもらう。それ以外にコインの数の変化はない。どちらか一方のコインがなくなった時点で他方を勝ちとする。
Ａが３枚、Ｂが２枚コインを持って始めたときに最終的にＡが勝つ確率をｐ、Ａが２枚、Ｂが３枚コインを持って始めたときに最終的にＡが勝つ確率をｑとするとき、ｐとｑを求めよ。

一般的に何度も独立な試行を繰り返す確率の問題では状態遷移図をかいて事象を追っていくケースが多いと思いますが、Ａが勝っても、次に負けてしまえばもとの木阿弥で最初の状態に戻ってしまいます。ＡとＢが交互に勝ち負けをするようなことが起こるとこのゲーム（？）は延々と続くことになります。しかし、この問題では「最終的に」Ａが勝つ確率という話になっており確率が計算できてしまうという面白さがあります。
この問題は私のオリジナルではなく、どこかで遭遇して「オモシロい！」と思った問題を記憶から引っ張り出してきたものです。なので、ひょっとすると問題に誤りがある可能性もあります。

そういったご指摘も含めて、解答案をコメント欄にお書きください。私の解答案は後日投稿いたします。