4色問題の派生? 線の塗り分けについて

数学の定理に「4色定理」というものがある。
これは、「平面の地図上において、曲線で分けられた領域に色を塗る時、隣り合う領域同士が同じ色にならないように塗り分けるために最低限必要な色は4色あれば足りる」という定理である。映画「容疑者Xの献身」でも出てきたので、それなりに知られているかもしれない。

4色定理は、簡単に言えば地図上で国や自治体を塗り分けるときに、隣り合う領域同士が同じ色にならないためには何色必要か? という問題である。

では、領域ではなく曲線の場合はどうだろうか。

つまるところ、問題の趣旨は以下である。

平面の地図上に多数の曲線があり、至る所で交差している。交差する曲線同士が同じ色にならないようにするためには、何色あれば充分だろうか?

この問題は、想像地図世界の国道路線図を作ったことで思いついた疑問である。国道の交差や重複を分かりやすくするため、交差する国道同士を異なる色で表示した路線図を作った。この目的を達するためには、交差しない(掠りもしない)国道同士は同じ色であっても良い。色の数が多くなりすぎると、「近いけど違う色」の区別の困難さから分かりにくいものとなるため、可能な限り少ない色の数で表現することが好ましかった。

結果的には想像地図世界の国道路線図は、8色あれば塗り分けることができた。

では、どんな路線図でも8色あれば塗り分けられるだろうか?
答えは否である。

漢字の「米」の字の中央が起点とする8方向それぞれが1号～8号だったら、それらを塗り分けるのに8色必要である。「✺️」の字のように中央が起点とする16方向それぞれが1号～16号だったら、それらを塗り分けるのに16色必要である。このように、ある一点を起点とする線は何本でも引くことができるので、「最低何色あれば塗り分けられる」という色の数は存在しない。極端な話、路線の数だけ色が必要になることもあり得るということだ。

ただし、「塗り分けに必要となる色の数 = 1点に集まる路線の最大値」ではないことには注意が必要だ。米の字の中央部分を囲むように円を描いてみよう。このような環状路線がある場合、塗り分けに必要な色の数は8ではなく9となってしまう。

想界では、1点に集まる国道の最大値は7である(最大となる地点は2箇所あり、法亢交差点とねみや橋交差点)。しかしそれでも7色では塗り分けられない。その理由は、法亢交差点のある日下部市付近の路線図を見れば一目瞭然である。

日下部市中心部にある法亢交差点は、交差点を貫通する1号との他に、交差点を起点または終点とする28号・169号・172号・304号・415号・419号の合計7路線が集まる。ところが、この地点を外側から取り囲む環状路線の305号がある。305号は、法亢を中心にして放射状に伸びる7路線全てと交差するので、8色目の色が必要となる。
なお、305号と交差しているが法亢交差点に達していない243号は、28号とは交差しないので28号と同じ緑色を使うことができているというわけだ。