バルクRNAのカウントデータと負の二項分布

2026年3月24日 02:12

ガンマ分布とポアソン分布の混合分布としての負の二項分布の導出

1. モデルの設定

まず、変数 $${\lambda}$$がガンマ分布 $${Gamma(\alpha, \beta)}$$ に従い、変数$${X}$$がその $${\lambda}$$ を平均とするポアソン分布に従うと仮定します。

ガンマ分布（事前分布）:
$${f(\lambda) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)\beta^\alpha} \lambda^{\alpha-1}e^{-\lambda/\beta} \quad (\lambda > 0)}$$
ポアソン分布（条件付き分布）:
$${ f(x|\lambda) = \frac{\lambda^x e^{-\lambda}}{x!} \quad (x \in \mathbb{Z}, x \geq 0)}$$

2. 周辺分布 $f(x)$ の導出

パラメータ $${\lambda}$$ を積分消去することで、$${X}$$ の周辺分布 $${f(x)}$$ を求めます。

$$
\begin{aligned}
f(x) &= \int f(x, \lambda) d\lambda \\
&= \int f(x|\lambda) f(\lambda) d\lambda \\
&= \int \frac{\lambda^x e^{-\lambda}}{x!} \cdot \frac{1}{\Gamma(\alpha) \beta^\alpha} \lambda^{\alpha-1} e^{-\lambda/\beta} d\lambda \\
&= \int \frac{1}{x! \Gamma(\alpha) \beta^\alpha} \lambda^{x+\alpha-1} e^{-(\frac{1}{\beta} + 1)\lambda} d\lambda \\
&= \frac{1}{x! \Gamma(\alpha) \beta^\alpha} \cdot \frac{\Gamma(x+\alpha)}{ \left( \frac{1+\beta}{\beta} \right)^{x+\alpha} } \\
&= \frac{(x+\alpha-1)!}{x! (\alpha-1)!} \left( \frac{\beta}{1+\beta} \right)^x \left( \frac{1}{1+\beta} \right)^\alpha \quad (\text{$\alpha$ が整数の時}) \\
&= \frac{(x+\alpha-1)!}{x! (\alpha-1)!} p^x (1-p)^\alpha \quad \left( \beta = \frac{p}{1-p} \text{ より } p = \frac{\beta}{1+\beta} \right) \\
&= \binom{x+\alpha-1}{x} p^x (1-p)^\alpha \quad
\end{aligned}
$$

これは負の二項分布の確率質量関数です。

3. 期待値と分散

導出された負の二項分布の期待値 $${E[X]}$$ と分散 $${Var[X]}$$ は、パラメータ $${\alpha, \beta}$$ を用いて次のように表されます。

期待値:
$${E[X] = \alpha \frac{p}{1-p}}$$
分散:
$${Var[X] = \alpha \frac{p}{(1-p)^2} }$$

期待値を $${\mu}$$ と置くと、分散は

$$
\begin{aligned}
\mu + \frac{1}{\alpha} \mu^2 &= \alpha \frac{p}{1-p} + \frac{1}{\alpha} \left( \alpha \frac{p}{1-p} \right)^2 \\
&= \alpha \cdot \frac{p}{1-p} + \alpha \cdot \frac{p^2}{(1-p)^2} \\
&= \alpha \cdot \frac{p - p^2 + p^2}{(1-p)^2} \\
&= \alpha \cdot \frac{p}{(1-p)^2} \\
&= Var[X]
\end{aligned}
$$

まとめ

$${\mu}$$はガンマ分布のパラメータ$${\alpha}$$と$${p}$$の式ですが、$${p}$$はガンマ分布のパラメータ$${\beta}$$と$${1:1}$$に対応します。また、$${\phi}$$はガンマ分布のパラメータ$${\alpha}$$と$${1:1}$$で対応します。したがって、$${\mu}$$と$${\phi}$$の推定問題はガンマ分布のパラメータの$${\alpha}$$と$${\beta}$$の推定問題と本質的に同じであると考えられます。