排中律⇐背理法+否定導入+選言導入

排中律「$${P\lor\neg P}$$」は、背理法「$${\neg P}$$を仮定して矛盾を導くことで$${P}$$を結論づける」と否定導入「$${P}$$を仮定して矛盾を導くことで$${\neg P}$$を結論づける」と選言導入「$${P}$$から$${P\lor Q}$$を導く」「$${Q}$$から$${P\lor Q}$$を導く」を使って証明できます。

$${\neg(P\lor\neg P)}$$を仮定する。ここで$${P}$$を仮定すると$${P\lor\neg P}$$が得られるが、これは最初の仮定と矛盾するので、最初の仮定の下で$${\neg P}$$が成り立つ。これから$${P\lor\neg P}$$が得られるが、これは最初の仮定と矛盾する。最初の仮定について背理法を適用して、$${P\lor\neg P}$$が結論づけられる。

この事実を使うと、排中律を使う証明から見かけ上は排中律を消すことができます。「見かけ上」であって、本質的ではありません。