[208]【短期集中連載第 4 回】正規分布の積分を解き明かす～極座標変換・円の対称性を活かす～
前回、私たちはガウスの計算戦略の核心部分を理解しました。
$${\displaystyle I^2 = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-(x^2 + y^2)} dx dy}$$
被積分関数 $${e^{-(x^2 + y^2)}}$$ が完全に円対称であることから、極座標変換を使うことが最適だとわかりました。
今回は、この極座標変換を詳しく理解し、ついに積分を実行して $${I^2 = \pi}$$ という美しい結果を導きます。
極座標とは何か : 高校数学からの発展
点の位置を表す 2 つの方法
直交座標 : 点 P を $${(x, y)}$$ で表す
$${x}$$ : $${x}$$ 軸方向の距離
$${y}$$ : $${y}$$ 軸方向の距離
極座標 : 同じ点 P を $${(r, \theta)}$$ で表す
$${r}$$ : 原点からの距離
$${\theta}$$ : $${x}$$ 軸正方向から反時計回りの角度
座標の変換公式
極座標から直交座標
$${\begin{cases} x = r \cos \theta \\ y = r \sin \theta \end{cases}}$$
直交座標から極座標
$${\displaystyle \begin{cases} r = \sqrt{x^2 + y^2} \\ \theta = \arctan\left(\frac{y}{x}\right) \end{cases}}$$ (ただし象限に注意)
簡単な例で確認
点 $${(1, \sqrt{3})}$$ を極座標で表すと、
$${\displaystyle \begin{cases} r = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = 2 \\ \theta = \arctan\left(\frac{\sqrt{3}}{1}\right) = \arctan(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3} \end{cases}}$$
となります。確認してみると、
$${\displaystyle \begin{cases} x = 2 \cos \frac{\pi}{3} = 2 \times \frac{1}{2} = 1 \\ y = 2 \sin \frac{\pi}{3} = 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \end{cases}}$$
より、正しそうですね。
なぜ極座標が効果的なのか
被積分関数の簡単化
極座標変換により、
$${x^2 + y^2 = r^2}$$
となるので、
$${e^{-(x^2 + y^2)} = e^{-r^2}}$$
となり・・・
重要な観察 : 変換後の関数は角度 $${\theta}$$ に依存しません！
これにより、$${2}$$ 次元の複雑な積分が、実質的に $${1}$$ 次元の積分に分離されます。
積分領域の変換
直交座標での領域は、$${xy}$$ 平面全体は
$${-\infty < x < \infty}$$
$${-\infty < y < \infty}$$
として表されますが、極座標での同じ領域は
$${0 \leq r < \infty}$$ (距離は $${0}$$ 以上)
$${0 \leq \theta < 2\pi}$$ ($${1}$$ 周分の角度)
となります。この変換により、積分領域が極座標の世界の「長方形」になります。
面積要素の変換 : 最も重要な部分
直交座標での微小面積
直交座標では、微小長方形の面積は単純です。
$${\text{微小面積} = dx \times dy}$$
極座標での微小面積
極座標では、微小領域は「扇形」になります。これを詳しく見てみましょう。
微小扇形の形状
内側半径 : $${r}$$
外側半径 : $${r + dr}$$
中心角 : $${d\theta}$$
微小扇形の面積計算
扇形の面積公式は、$${\displaystyle S = \frac{1}{2}R^2\theta}$$ でしたので、
外側の扇形の面積 : $${\displaystyle S_{\text{外}} = \frac{1}{2}(r + dr)^2 d\theta}$$
内側の扇形の面積 : $${\displaystyle S_{\text{内}} = \frac{1}{2}r^2 d\theta}$$
より、微小面積はその差の
$${\displaystyle dS = S_{\text{外}} - S_{\text{内}} }$$
$${\displaystyle = \frac{1}{2}(r + dr)^2 d\theta - \frac{1}{2}r^2 d\theta }$$
$${\displaystyle = \frac{1}{2}d\theta[(r + dr)^2 - r^2] }$$
$${\displaystyle = \frac{1}{2}d\theta[r^2 + 2r \cdot dr + (dr)^2 - r^2] }$$
$${\displaystyle = \frac{1}{2}d\theta[2r \cdot dr + (dr)^2]}$$
$${dr}$$ は微小量なので、$${(dr)^2}$$ は無視できるので、
$${\displaystyle dS = \frac{1}{2}d\theta \cdot 2r \cdot dr = r \cdot dr \cdot d\theta}$$
となります。
結論
$${dx dy = r dr d\theta}$$
別の理解方法 : 長方形近似
微小扇形を長方形で近似することもできます。
縦の長さ : $${dr}$$ (半径方向の変化)
横の長さ : $${r d\theta}$$ (円弧の長さ)
したがって面積 $${dr \times r d\theta = r dr d\theta}$$
どちらの方法でも、同じ結果 $${r}$$ の係数が現れます。
ちゃんと数学を勉強すると : ヤコビアン
そもそもここで出てくる $${r}$$ って何なのかというと、$${1}$$ 変数のときに出てきた変数変換のときの調整の関数です。
例えば、
$${\displaystyle \int x(2x^2+1)^3 dx}$$
を計算するために、展開してもいいのですが、$${t=2x^2+1}$$ とすると、$${\displaystyle \frac{dt}{dx} = 2 \times 2x = 4x}$$ であるので $${\displaystyle \frac14 dt = x dx}$$ であるので、
$${\displaystyle \int x(2x^2+1)^3 dx = \int t^3 \times \frac14 dt}$$
と変数変換ができるのです。
この $${\displaystyle \frac14dt = xdx}$$ の、$${2}$$ 変数のときバージョンは、ヤコビ行列の行列式であるヤコビアン $${J}$$ です。
$${(x, y)}$$ から $${(s, t)}$$ への変数変換をするとき、
$${J = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial s} & \frac{\partial x}{\partial t} \\ \frac{\partial y}{\partial s} & \frac{\partial y}{\partial t} \end{vmatrix}}$$
となります。$${\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}}$$ は $${\displaystyle \frac{df}{dx}}$$ の他変数バージョンで、関数 $${f}$$ を変数 $${x}$$ で (偏) 微分する、という意味です。ここでは $${J}$$ でヤコビアンを表しましたが、ヤコビ行列を表すこともあるので、教科書や論文を見るときはどっちの意味で使っているかの確認が必要です。
これを使うと、
$${\displaystyle \int\int_D f(x, y) dxdy = \int\int_E f(x(s, t), y(x, t))|J|dsdt}$$
とできるようになります。
つまり、今回の場合でいうと、
$${\begin{cases} x = r \cos \theta \\ y = r \sin \theta \end{cases}}$$
であったので、
$${J = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta} \\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta} \end{vmatrix}}$$
$${\displaystyle = \begin{vmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta \\ \sin\theta & r\cos\theta \end{vmatrix}}$$
$${= \cos\theta \times r \cos\theta - \sin\theta \times (-r \sin\theta)}$$
$${= r(\cos^2\theta+\sin^2\theta) = r}$$
となるので、$${|J| = r}$$ となり、これでも同じ結果が得られます。
積分の実行
変換後の積分
極座標変換により。
$${\displaystyle I^2 = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-(x^2 + y^2)} dx dy = \int_0^{2\pi} \int_0^{\infty} e^{-r^2} \times r dr d\theta}$$
となります。
変数分離
被積分関数 $${e^{-r^2} \times r}$$ は、変数 $${θ}$$ に依存しない、つまり $${\theta}$$ については定数関数となっているので、
$${\displaystyle I^2 = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^{\infty} e^{-r^2}r dr}$$
$${\displaystyle = \left(\int_0^{2\pi} d\theta\right) \times \left(\int_0^{\infty} e^{-r^2} r dr\right)}$$
となり、それぞれの積分をしてからその積をとればよいことになります。
θ についての積分 (簡単な部分)
$${\displaystyle \int_0^{2\pi} d\theta = [\theta]_0^{2\pi} = 2\pi - 0 = 2\pi}$$
これは円周角の $${1}$$ 周分で、当然の結果です。
r についての積分 (本質的な部分)
$${\displaystyle \int_0^{\infty} e^{-r^2} r dr}$$
この積分は、置換積分で計算できます。
$${u = r^2}$$ とおくと、
$${du = 2r dr}$$ であるので $${\displaystyle r dr = \frac{1}{2} du}$$ となります。
積分範囲の変換
$${\begin{array}{c|ccc} r & 0 & \rightarrow & \infty \\ \hline u & 0 & \rightarrow & \infty \end{array}}$$
となっています。
積分の実行
$${\displaystyle \int_0^{\infty} e^{-r^2} r dr = \int_0^{\infty} e^{-u} \frac{1}{2} du}$$
$${\displaystyle = \frac{1}{2} \int_0^{\infty} e^{-u} du}$$
$${\displaystyle = \frac{1}{2} [-e^{-u}]_0^{\infty}}$$
$${\displaystyle = \frac{1}{2} [0 - (-e^0)]}$$
$${\displaystyle = \frac{1}{2} [0 + 1] = \frac{1}{2}}$$
となります。
広義積分の確認
$${u \rightarrow \infty}$$ のとき $${e^{-u} \rightarrow 0}$$ は急速に収束するので、積分は収束します。
最終結果
以上より、
$${\displaystyle I^2 = 2\pi \times \frac{1}{2} = \pi}$$
であるので、
$${\displaystyle I = \sqrt{\pi}}$$
つまり
$${\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}}$$
が得られました。
美しい結果の確認
計算過程の振り返り
問題設定 : $${\displaystyle I = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx}$$ を求める
発想転換 : $${I^2}$$ を計算する
次元拡張 : $${1}$$ 次元積分を $${2}$$ 次元積分に変換
座標変換 : 極座標で円対称性を活用
変数分離 : 角度と距離の積分に分離
置換積分 : $${u = r^2}$$ で標準的な積分に帰着
各段階の意義
極座標変換 : 円対称性により本質的に $${1}$$ 次元の問題に
面積要素の $${r}$$ : この係数が積分を可能にする
置換積分 : 高校数学の技法で最終的に解決
正規分布への応用準備
標準正規分布への変換
私たちが求めたのは
$${\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}}$$
でした。でも、標準正規分布で必要なのは、
$${\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{x^2}{2}} dx}$$
です。この変換は、次回で置換積分を使って行います。
次回の予告
次回は、いよいよ正規分布の係数 $${\displaystyle \frac1{\sqrt{2\pi}}}$$ を完全に導出します。
$${e^{-x^2}}$$ から $${e^{-\frac{x^2}2}}$$ への積分変換
係数の決定
一般の正規分布 ($${\mu \neq 0, \sigma \neq 1}$$) への拡張
数学の美しさ : 円周率の登場
なぜ π が現れるのか？
「直線」の問題であるはずの正規分布に、なぜ「円」の定数である $${\pi}$$ が現れるのでしょうか？
答えは極座標変換にあります。円対称な関数を積分するとき、私たちは本質的に「円」の幾何学を使っているのです。
$${2\pi}$$ は円の円周角、$${r dr d\theta}$$ は円の面積要素
正規分布の背後には、深い幾何学的構造が隠されていたのです。
ガウスの天才性
ガウスの発想の美しさは、
問題の本質を見抜く : 円対称性に気づく
適切な道具を選ぶ : 極座標変換を使う
計算を実行する : 技法を組み合わせて解決
この計算は、数学の創造性と技術的精密さの完璧な融合例です。
次回は、この美しい計算の完成編です。ついに、正規分布の謎めいた係数 $${\displaystyle \frac1{\sqrt{2\pi}}}$$ の正体が明らかになります。
続く