重積分の変数変換
変数変換の基本原理（結論）
$${(u,v)}$$ 平面の領域 $${D_{uv}}$$ を $${(x,y)}$$ 平面の領域 $${D_{xy}}$$ に写す $${C^1}$$ 級の写像
$$
\Phi : (u,v)\mapsto (x(u,v),y(u,v))
$$
が全単射で、逆写像も $${C^1}$$、かつヤコビアンが $${D_{uv}}$$ 全体で $${\neq 0}$$ とする。このとき可積分関数 $${f}$$ に対して
$$
\boxed{\displaystyle
\iint_{D_{xy}} f(x,y)dxdy
=\iint_{D_{uv}} f\bigl(x(u,v),y(u,v)\bigr)\Bigl|J(u,v)\Bigl|dudv
}
$$
ここで、**ヤコビアン（Jacobian）**とは
$$
D (u,v)= \begin{pmatrix}
\dfrac{\partial x}{\partial u} & \dfrac{\partial x}{\partial v}\\\dfrac{\partial y}{\partial u} & \dfrac{\partial y}{\partial v}
\end{pmatrix}
$$
$$
J(u,v) = \det D (u,v)
$$
であり、式中には 絶対値 $${|J(u,v)|}$$ が現れる。
具体例：領域を変数変換で扱う
ここでは、次のような領域を考えます。
$$
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid 0 \le x+y \le 8,\;-4 \le x-y \le 0\}
$$
この領域は $${(x,y)}$$ 平面上では斜めに傾いた長方形になります。
そこで、新しい変数を導入します。
$$
u = x+y , v = x-y
$$
領域の変換
このとき領域 $${D}$$ は、$${(u,v)}$$ 平面では
$$
D_{uv} = \{(u,v)\in\mathbb{R}^2 \mid 0 \le u \le 8,\;-4 \le v \le 0\}
$$
という単純な長方形に変換されます。
単位正方形の変形
$${(x,y)}$$ 平面での微小な単位正方形 $${\Delta x \Delta y = 1}$$ をとると、それが $${(u,v)}$$ 平面では平行四辺形$${\Delta u \Delta v = 2}$$に写ります。
→ つまり **面積要素の拡大率** が現れることが分かります。
ヤコビアンの計算
$$
x=\frac{u+v}{2},\qquad y=\frac{u-v}{2}
$$
であり、
$$
J_{(x,y)/(u,v)}=\det\begin{pmatrix}\tfrac12 & \tfrac12\\\tfrac12 & -\tfrac12\end{pmatrix}=-\frac12,\qquad\bigl|J_{(x,y)/(u,v)}\bigr|=\frac12
$$
まとめ
- 変数変換で領域が「扱いやすい長方形」に変わる。
- 面積要素の変形倍率を与えるのが **ヤコビアン**。
- 今回の変換では $${|J|=\frac12}$$ が現れ、これが積分に掛かる補正係数となる。（面積が２倍になって積分は$${|J|=\frac12}$$倍になる）
【付録】全微分とヤコビアン
変数変換
$$
(u,v)\mapsto (x(u,v),y(u,v))
$$
を考えます。
全微分を行列で書く
微小変化は
$$
\begin{pmatrix}dx\ dy\end{pmatrix}\underbrace{\begin{pmatrix}\dfrac{\partial x}{\partial u} & \dfrac{\partial x}{\partial v}\\\dfrac{\partial y}{\partial u} & \dfrac{\partial y}{\partial v}\end{pmatrix}}_{D(u,v)}\begin{pmatrix}du\ dv\end{pmatrix}
$$
面積要素の変換
$${(u,v)}$$ 平面での微小長方形 $${du\times dv}$$ は、この行列の列ベクトル
$$
\mathbf a=\begin{pmatrix}x_u\ y_u\end{pmatrix}du,\qquad\mathbf b=
\begin{pmatrix}x_v\ y_v\end{pmatrix}dv
$$
が張る平行四辺形に写ります。
その面積は外積の大きさで与えられ、
$$
|\det(\mathbf a,\mathbf b)|
= \bigl|\det D(u,v)\bigr|dudv
$$
したがって
$$
dxdy = \bigl|\det D(u,v)\bigr|dudv
$$
となります。これが変数変換に現れる ヤコビアンの絶対値 です。