数学やってみた。　x^2−y^2＝1を満たす自然数x、yは存在しないことを証明せよ。

ちょっと数学やってみてる。

今日気になった問題。
「x^2−y^2＝1を満たす自然数x、yは存在しないことを証明せよ。」

教科書の章末問題Aの問題です。

初見で、あれ〜存在しないことの証明って難しいんじゃなかったっけか？

存在するのなら例を1つ挙げれば良いけれど、存在しないものは全ての可能性を考えなくちゃならない。

から難しいんじゃなかったっけか？

そんな難しい問題章末問題Aにある？

しばし黙考。
あーそうだそうだ、矛盾を導き出して証明するやつだっけか。あったなーそんなの。どれ教科書をみてみよう。あーあったあった背理法だって。仮定の矛盾を導いてその反対の命題を証明する方法。

これを使うのかっ！ピコり。

みなさんも興味がある人はここから考えてみてくださいね〜。

〈ここからおれの解答です。〉

でね〜一応解いてみたんだけど、教科書だから解答がない。しかも初心者だからわけわからん解答になっちまった。どうか高校数学に造詣が深い方がいらっしゃったら私の解答を添削してくださるとうれしいです。非常に求む。

以下私の解答。

「x^2−y^2＝1を満たす自然数x、yは存在しないことを証明せよ。」

x、yは自然数より、x、yは1≦x≦yを満たす整数。

x^2−y^2＝1を　x^2＝y^2+1と変形する。

右辺は+1があるので、x、yは同数はあり得ない。

また1^2＝1、2^2＝4、3^2＝9より、

数が一つ増えるごとに、どの2つの自然数間も3以上の開きがある。

したがってx^2＝y^2+1を満たす数式は存在しない。

よって、x^2−y^2＝1を満たす自然数x、yは存在すると仮定すると矛盾が生じる。

したがって、「x^2−y^2＝1を満たす自然数x、yは存在しない」。

こんな感じになりました。

果たしてこれが数学の解答として意味をなすのかもわからない私ですが、誰かが添削して助言してくださることを信じて、書き残しておきたいと思います。

それでは。

ありがとうございました。バイバイ👋