探究・探究・探究： 錐（すい）の体積はどうして柱（ちゅう）の３分の１か
高校で探究型の学習が推奨され、私（大学の教員）も連携する高校の「理数探究」や「総合的な学習の時間」の探究などに協力している。
大学に勤める研究者としては、
「理数」（Science and Mathematics：理科と数学のことらしい）は、数理科学（Mathematical Science）のことを指す高校教育用語、
そして、「探究」（Inquiry-Based Study）は、「研究」（Study）のことを指す高校教育用語、と理解しています。
今回の「探究」テーマ（の内のほんの一部だけ紹介）は、
「中学校で習う錐の公式の理由を探究する」です。
高校１年生むけに考えてみました。
例えば、四角錐の体積の公式
のように、「錐（すい）の体積は柱（ちゅう）の体積の３分の１である」ことを中学で習うのですが、「３分の１」である理由を納得いくように説明できますか？
よくある説明のひとつが、
立方体を、中心点を頂点とする６つの四角錐に分けるというものです。
「激落ちくん キューブ」などの商品名で売られている掃除用の立方体のスチロールをカッターナイフで実際に切ってみます。（高校生と一緒にやってみました。）
元の立方体の１辺の長さを１とすると、
底面積１×１＝１、高さ１／2の「平たい四角錐」が６個合わさると、
体積１×１×１＝１の「元の立方体」になるから
「平たい四角錐」の体積×６＝「元の立方体」の体積 ・・・①
また、立方体を１／２の高さで水平に２つに切った、底面積１×１＝１、高さ１／２の「平たい四角柱」は、２つ重ねると「元の立方体」になるので、
「平たい四角柱」の体積×２＝「元の立方体」の体積 ・・・②
である。
式①と②から、
「平たい四角錐」の体積×６＝「平たい四角柱」の体積×２
なので、
「平たい四角錐」の体積＝「平たい四角柱」の体積×２／６
となり、
めでたく、
錐の体積＝柱の体積×１／３
というわけである。
これでも良いけれども、６分の１ではなく、３分の１をストレートに示して納得したい気がする。
つまり、柱を、柱と同じ底面と高さの３つの同じ形の錐に分けたい。
できそうなのに、なかなかそのような３次元図形を想像できない。
（シンキング タイム）
寝ながら一晩考えて、やっと想像できた。（昔から時々、寝ている間にプログラムのバグに気づいたり、パズルの答えを思いついたりする。）
以下は、立方体を、合同な３つの四角柱に分ける方法：
XYZ座標上の (0,0,0), (1,0,0), (1,1,0),(0,1,0)-(0,0,1), (1,0,1), (1,1,1),(0,1,1)の８点を頂点とする立方体（下図）を考える。
この立方体は、次のような３つの合同な四角錐に分けられる。
XY平面上の正方形(0,0,0), (1,0,0), (1,1,0),(0,1,0)
YZ平面上の正方形(0,0,0), (0,1,0), (0,1,1),(0,0,1)
ZX平面上の正方形(0,0,0), (0,0,1), (1,0,1),(1,0,0)
の３つの正方形をそれぞれ底面とし、どれも(1,1,1)を頂点とする３つの四角錐（下図）である。
（どっちでも同じだけど、原点(0,0,0)を共通の頂点として上図の面とは対面の正方形を底面とする３つの四角錐を考える方がベクトル幾何学的にはシンプルだったな〜と、図を作ってから思ったが。）
これを「激落ちくん」で作ると、
この合同な３つの四角錐を組み合わせると
確かに上図の左のようにでき、これは右の元の立方体と同じである。
かなり、すっきりした。
なお、この四角錐は、頂点から底面に下ろした垂線の足が、底面の中心ではなく、底面の正方形の１つの頂点と一致する形である。
頂点がずれても高さが同じなら体積は変わらないことは、
次の図のように、板を10枚重ねて作った四角錐が、頂点をずらしても体積が同じであることで、なんとなく納得できる気もする。
これらは、どちらも、大学３年生の「おかきさん」がレーザーカッターで作ってくれた、下の図のような正方形の板を10枚重ねたものである。
この10枚の板は、板の厚さを１としたとき、１×１、２×２、・・・10×10のサイズである10通りの正方形の板である。
この板を使って、「区分求積」によって四角錐の体積を求めてみよう。
板の厚さは１なので、それぞれの板１枚の体積は「正方形の面積×高さ１」つまり値としては、正方形の面積に等しい。
つまり、
この10枚の板を重ねた四角錐（底面１×１、高さ10の四角錐）の体積は、
（１×１）＋（２×２）＋・・・＋（10×10）＝385
高校２年生なら、
と書く値であり、
四角数（自然数の２乗である数）の数列の和の公式：
の n に10を代入して求めることもできる。値は385である。
この（板を10枚重ねた）四角錐と同じ底面で同じ高さの四角柱（10×10サイズの板を10枚重ねた立方体）の体積は、
10×10×10＝1000
なので、
錐の体積／柱の体積＝ 385／1000 ＝0.385
である。
（おおっ １／３＝0.333333・・・に近い！）
さらに、10×10、11×11、・・・と順に大きな板を重ねていくことを考える。
板を重ねる枚数をnとすると、
錐の体積は、前述の式Aで表され、
柱（高さも同じなので立方体になる）の体積はnの３乗なので、
錐の体積／柱の体積
これを計算すると
である。四角形の板を重ねる数nを大きくするほど四角錐が大きくなるが、１個の四角錐あたりの板の数が増える（つまり四角錐を多くの板に分けて細かく近似する）と見ることができるので、
nを大きくするほど実際の「錐の体積／柱の体積」の値に近づくはず。
理系の高校３年生なら、
n→♾️
の時の式Bの極限値が1/3とわかる。（なぜなら、1/2n → 0 , 1/6n^2 → 0）
つまり、
すなわち、
錐の体積＝１/３（柱の体積）
であることが説明できた。
めでたし、めでたし。
・・・しかし、今回の探究は、高校１年生による探究だ。
積分を使わずに、離散的に板を重ねて自然数の和だけで（区分求積で）説明しようとしたのに、・・・
数列の和（高２）や極限（高３）も使わずに説明しないと・・・
どうしよう・・・(汗);
つづく。
※「つづき」で、見事に（？）高校１年の知識だけで解決します。（たぶん）