マンハッタン距離とユークリッド距離とマハラノビス距離

数学的には、”距離という概念”にはいくつもの種類があります。日常生活で意識するのは、二次元平面上や三次元空間上での直線距離です。これはユークリッド距離と呼ばれ、タイトル画のような2点間の”ユークリッド”距離は、ピタゴラスの定理を使って求めることができます。n次元の場合は、各次元での距離の二乗値を合計した値の平方根から求めることができます。

それに対してマンハッタン距離は、碁盤の目状の道を縦／横にタクシーが進むようにn次元の距離の絶対値を合計することで距離することができます。この名称は、碁盤の目状のアメリカの都市・マンハッタンに由来しています。この場合、マンハッタン距離は直線距離よりは長くなります。

古代ギリシャの時代からあるユークリッド幾何学では、通常の距離(ユークリッド距離)が使われますが、マンハッタン距離を使った幾何学は、タクシー幾何学と呼ばれ、19世紀にヘルマン・ミンコフスキーによって考案された。その他にも、各次元の中で最も大きな距離を選んだチェビシェフ距離というのもあります。

ここまでは、統計とは無関係の距離でしたが、平均値からの統計的な距離としてマハラノビス距離というのがあります。マハラノビス距離が大きいのは、平均値からのズレが大きいことなので、観測値中の外れ値を決定するのによく使われます。