北海道大学2003年：放物線と軌跡

問題

$${xy}$$ 平面上の放物線 $${A:\ y=x^2}$$，$${B:\ y=-(x-a)^2+b}$$ は異なる2点P$${(x_1,\ y_1)}$$，Q$${(x_2,\ y_2)}$$ （$${x_1>x_2}$$）で交わるとする。$${x_1-x_2=2}$$ を満たしながら $${a,\ b}$$ が変化するとき，直線PQの通過する領域を図示せよ。
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実際の問題には，「(1) $${x_1-x_2=2}$$ が成り立つとき，$${b}$$ を $${a}$$ で表せ」がついていて，導入になっています。この導入がないとかなり難しくなるのではないでしょうか。これによって，変数が１つ減るからです。直線PQの方程式は，交点の座標を求めなくても，「２つの曲線$${f(x,y)=0,\ g(x,y)=0}$$の交点を通る曲線の方程式は　$${f(x,y)+kg(x,y)=0}$$ である」という手がありますので，$${k=-1}$$ とすれば，$${y=ax-a^2+b}$$ と出るのですが，このあとをどうするかで止まってしまいそうです。$${b}$$ を $${a}$$ で表してあれば，$${a}$$ についての２次方程式と考えて実数条件が使えます。包絡線を求めるいつもの手です。

さて，計算はおいといて，問題を「鑑賞」しましょう。なかなかきれいな図ができます。

リンク先を開くと次の画面になります。

放物線の頂点の緑の点をドラッグすると，$${a,\ b}$$ の値が変わります。しかし，$${b}$$ の値は前述のように，$${a}$$ の値によって決まりますので，どこにでも行けるわけではありません。
直線PQに着目しながら緑の点をドラッグしましょう。PQが通過する領域をイメージできるでしょうか。

$${b}$$ の値が$${a}$$ の値によって決まるので，緑の点がマウスポイントにぴったり追随してくるわけではなく，画面外に出てしまうこともあります。

ここでマウスボタンを離すとあとが追えなくなってしまうので，その場合は「リセット」ボタンを押しましょう。最初の状態にもどります。
直線PQの動きがつかめたなら「PQの跡表示」ボタンをクリックしましょう。動いた跡がずっと残ります。

これで包絡線が見えてきます。放物線のようですがそうでしょうか。
「領域表示」ボタンをクリックしましょう。

計算をすると，包絡線は $${y=x^2+1}$$ になります。
「PQの跡表示」ボタンをクリックしてPQの軌跡を消しましょう。左右対称のなかなかきれいな図です。

問題にはありませんが，領域を表示したままPQを動かしていて何か気がつくことはありませんか。包絡線$${y=x^2+1}$$ と直線PQは接するわけですが，その接点がPQの中点になっているようですね。実際に計算して確かめましょう。

※図はCinderella（CindyJS）で作成しています。