佐賀大学2015年：空間内での軌跡

問題

点 Oを原点とする座標空間内に，点A(1, 0, 0) , B(2, 0, 0), C(1, 0, 1) がある。点Aを中心とする$${xy}$$ 平面上の半径１の円周上に点Pをとり，∠BAP=θとする。
$${\dfrac{\pi}{2} < \theta < \dfrac{3}{2}\pi}$$ の範囲でθが変化するとき，直線CPと $${yz}$$ 平面の交点Qの軌跡を求めよ。
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　図を描くのも計算もそれほど難しくはないでしょう。点Pの座標は P$${(\cos \theta +1,\ \sin \theta, 0)}$$ と表せます。直線CP 上の点を R$${(x,\ y, \ z)}$$  とすると，　$${\overrightarrow{\rm{OR}}=\overrightarrow{\rm{OC}}+t\overrightarrow{\rm{CP}} }$$ から，$${x,\ y, \ z}$$ を$${t}$$ と $${\theta}$$ で表すことができます。Qは$${yz}$$ 平面上の点なので $${x=0}$$ とすれば，$${t}$$ が $${\theta}$$ で表せて，Q$${\left( 0, \ - \tan \theta, \ 1+\dfrac{1}{\cos \theta}\right)}$$ となります。これは，双曲線の媒介変数表示ですね。

　Web上で状況を見るためのものを作りました。

始めの画面は次のようになっています。
右にスライダとボタン「軌跡表示」があります。ボタンが画面に表示されていない場合は再読み込みをしてください。

スライダでθの値を変えてみましょう。Qの動きがわかりますが，放物線のように見えますね。「軌跡表示」ボタンで軌跡を表示してみましょう。すると，放物線ではないことがわかります。計算結果は双曲線でした。
方眼は $${yz}$$ 平面を表しますが，このままでは奥行きがわかりにくいでしょうから，左の円形スライダで図を回転してみましょう。それによって奥行きの感覚がつかめます。

※図はCinderella（CindyJS）で作成しています。