早稲田大学2006年：図形と式：円

問題

座標平面上に点A$${(5,\ 0)}$$ を中心とする半径4の円$${C_1}$$ と点B$${(3, \ 0)}$$ が与えられている。点P$${(p,q)}$$ が円$${C_1}$$ 上を動くとき，Pを中心として半径の長さが2BPの円$${C_2}$$ と$${x}$$ 軸との2つの交点をM$${(m,0)}$$，N$${(n,0)}$$ とする。ただし，$${m < n}$$ とする。点Mは動点Pの位置に関係なく定まる定点となることを示せ。

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実際の問題は，穴埋め式になっているので，その道筋に沿って計算していけばどうということなく示すことができます。円$${C_2}$$ の方程式を$${p,\ q}$$ を用いて表し，$${p,\ q}$$ が 円$${C_2}$$上にあることから，円$${C_2}$$ の方程式を整理すれば$${m, \ n}$$ が求められ，Mが定点であることがわかります。

リンク先を開くと見出し画像の画面が出ます。赤い点Pをドラッグすると，円$${C_2}$$ の大きさが変わりますが，常に点Mを通ることがわかるでしょう。

この問題は，ここで終わってしまっては面白くありません。点A,Bの位置関係が変わるとどうなるでしょう。点A,Bともに，緑の点をドラッグすることで$${x}$$ 軸上の位置を変えることができます。
まず，BをAに近づけてみましょう。

Mは定点ではなくなります。
どうやら，AB=2 がポイントのようです。BをAの右側に持ってきます。

こんどはNが定点です。Aに関して左右対称なのだから当然でしょうか。
AB=2 の条件を維持して，両方とも位置を変えてみましょう。位置関係が同じなのだから，同じようにBがAの左ならMが定点になるはずですね

これもA$${(a,\ 0) }$$ 点B$${(a-2, \ 0)}$$ として計算すれば示すことができるでしょう。

※図はCinderella（CindyJS）で作成しています。