東京学芸大学2003年：定点を通る直線

問題

座標平面上で第１象限の点Ｐが，原点Oを中心とする半径１の円周上にあるとする。また，点P$${(2,\ 0)}$$ を通り$${x}$$ 軸に垂直な直線と直線OPとの交点をQ，点B$${(0,\ 1)}$$ とPを結ぶ直線と$${x}$$ 軸との交点をRとする。さらに，線分OR上に点SをSR=AQであるようにとる。このとき，直線SPはPの位置によらず定点を通ることを示せ。

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問題を読んで図を頭の中にイメージするのはけっこう大変でしょう。紙の上にちゃんと描いてみましょう。

　誘導の小問はないので，なんらかの設定から自分でやる必要があります。Pは単位円周上の任意の点なので，「直線SPはPの位置によらず定点を通る」ことを示すには，点Pの座標を文字で表し，それを使って直線SPの方程式を表せばよさそうです。P$${(\cos \theta, \ \sin \theta)}$$ とおくのが定石，と思いますが，やってみると結構面倒です。直線OPを$${y=mx}$$ とおくと，Pの座標が$${\left(\dfrac{1}{\sqrt{m^2+1}},\ \dfrac{m}{\sqrt{m^2+1}}\right)}$$ となります。方針を立てるときは面倒に思えますが，結果的にこちらの方が簡単にいきます。

答は，次のリンク先を開いて，点Pを動かしてみましょう。

※図はCinderella（CindyJS）で作成しています。