北海道大学2007年：立方体の断面と体積

問題

座標空間において，次の連立不等式の表す立体を考える。
　$${0 \leqq x \leqq 1,\ 0 \leqq y \leqq 1, 0 \leqq z \leqq 1, \ x^2+y^2+z^2-2xy-1 \geqq 0}$$
この立体を平面 $${z=t}$$ で切ったときの断面を$${xy}$$ 平面に図示し，この断面の面積 $${S(t)}$$ および立体の体積を求めよ。

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この立体の体積の計算は、$${z=t}$$ での切断面を考えて積分すればよく、断面図が描ければ比較的簡単な計算です。連立不等式の4番目の式で $${z=t}$$ とすると
$${x^2+y^2+t^2-2xy-1 \geqq 0}$$ となりますが，これはどんな図形を表すでしょう。等式に変えて，$${(x-y)^2+t^2-1 = 0}$$ から $${(x-y)^2-(1-t^2) = 0}$$ となるので，左辺を因数分解すれば，２直線ではさまれた部分の外側となるでしょう。（計算してみましょう）

リンク先を開くと次の画面になります。

右にあるスライダの緑の点をドラッグすると t の値を変化させることができ、図は $${0 \leqq z \leqq t}$$ の範囲で描かれます。一番上の面が断面ということになります。

左側の円形スライダを使って，いろいろな方向から見てみましょう。真上から見るようにすると，２つの直線（線分）で挟まれた部分の外側だということがよくわかります。

状況がわかれば断面積 $${S(t)=(1-\sqrt{1-t^2})^2}$$ を求めるのはたいへんではないし，積分も難しくはないでしょう。体積は$${\dfrac{5}{3}-\dfrac{\pi}{2}}$$ になります。

※図はCinderella（CindyJS）で作成しています。