九州大学2020：正四面体の切断

問題

座標空間内の4点 O $${(0,\ 0,\ 0)}$$，A $${(1,\ 1,\ 0)}$$，B $${(1,\ 0,\ 1)}$$，C $${(0, \ 1, \ 1)}$$ を頂点とする四面体OABCを，$${z}$$ 軸に垂直な平面で切ったときの断面積の最大値を求めよ。

元の問題では，B $${(1,\ 0,\ p)}$$，C $${(q, \ r, \ s)}$$ としておいて，これを正四面体として，$${p,\ q, \ r, \ s}$$ の値を求めさせる設問を(1) としています。
断面積を求めるには，図を描いて状況を把握しないと計算ができないでしょう。
平面 $${z=k}$$ で切ったとき，
　辺ABとの交点の座標をP$${(1, \ 1-k, \ k)}$$
　辺ACとの交点の座標をQ$${(1-k, \ 1,  \ k)}$$
　辺OBとの交点の座標をR$${(k, \ 0, \ k)}$$
　辺OCとの交点の座標をS$${(0, \ k, \ k)}$$
とすると，断面は長方形PQRSとなります。すると，面積は$${k}$$ の2次関数となり，最大値は$${\dfrac{1}{2}}$$ と計算できます。

空間図形をイメージするのはなかなか難しい。これを視点を変えたり，平面$${z=k}$$ を動かしたりしながら見てみましょう。

リンク先をクリックすると，次の画面になります。

左に並んでいるのは円形スライダ。緑の点をドラッグすると座標軸の回りに回転すします。始めの図ではOABCが正四面体には見えませんが，回転するとそれらしい図になります。目で見ながら自分で回転するとイメージをつかみやすいでしょう。

この図を見ながら，平面 $${z=t}$$ で切ったときの図を想像するのですが，なかなか難しい。「切断」ボタンを押すと切断面が表示されます。

左側のスライダで，平面の高さ（$${t}$$ の値）を変えてみましょう。

円形スライダで回転してみましょう。真上（z軸の上の方）から見るとこのようになります。

これが答えを導くために必要な図です。このようなツールなしにこの図を想像することができれば問題が解けるわけです。

※図はCinderella（CindyJS）で作成しました。