早稲田大学2010年：放物線と接線

問題

$${t}$$ を実数とする。2つの放物線
　　　$${y=x^2+1}$$　　　・・・　①
　　　$${y=-(x-t)^2+t}$$　・・・　②
の両方に接する2本の直線を$${\ell_1,\ \ell_2}$$ とし，$${\ell_1}$$ と $${ \ell_2}$$ の交点をＰ，$${\ell_1}$$ と①の接点をA$${(\alpha,\ \alpha^2+1)}$$ ， $${\ell_2}$$ と①の接点をB$${(\beta,\ \beta^2+1)}$$ とする。
△APBの面積$${S(t)}$$ の最小値を求めよ。

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 実際の問題には，Ｐの座標を$${\alpha,\ \beta}$$ で表すという小問がありますが，問われていなくても計算上必要でしょう。
この問題では，もちろん図を描いて考えるのですが，図を描いたら解答のヒントが得られる，というものでもありません。状況を確認して微分と積分で$${S(t)}$$を計算することになります。標準的な問題です。
したがって，ここでは，実際に放物線②を動かして，△APBの面積の変化を「鑑賞」することにしましょう。

リンク先を開くと，見出し画像の画面が出ます。放物線②の頂点が緑の点で，これをドラッグして変化を見ましょう。

計算の誤差の関係からか，最小値になる$${t=1}$$ の付近が滑らかに動きませんが，それはよしとしましょう。

※図はCinderella（CindyJS）で描いています。