東京大学2017年：円に関する鏡映（反転）

問題

　複素数平面上の原点以外の点$${z}$$ に対して，$${w=\dfrac{1}{z}}$$ とする。$${z}$$ が次の図形上を動くとき，$${w}$$ の軌跡を求めよ。
(1) 0でない複素数 $${\alpha}$$ がある。点 $${\alpha}$$ と原点Oを結ぶ線分の垂直二等分線上を$${z}$$ が動く。
(2) １の3乗根のうち１でないものを$${\beta,\ \gamma}$$とする。点$${\beta}$$ と点$${\gamma}$$ を結ぶ線分上を$${z}$$ が動く。

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表現は元の問題とすこし異なりますが，この問題，「反転」の問題だと気がつかれた方はどのくらいおられるでしょうか。高校で数学Ⅲを学ぶとき，教科書によっては（たとえば啓林館の「詳説数学Ⅲ」）章末に「研究（発展）」として掲載されています。これについては後述します。

　さて，この問題，結果を見るには，計算するよりグラフィック描画ソフト（Geogebra やCinderella）やプログラミングで描画するほうが簡単かもしれません。Cinderellaであれば，作図機能で点と必要な図を作図し，数行のスクリプトを書くだけです。(1) の場合は次の4行です。

pz=complex(A);
B.xy=gauss(1/pz);
drawtext([0.9,-0.3],"1",size->18);
drawtext([-0.2,0.9],"1",size->18);

complex(A) は点A（ラベルはｚ)の座標を複素数pzに変換し，点B（ラベルはw）の座標を$${\dfrac{1}{pz}}$$ を変換したもの（gauss(1/pz)）にしています。あとの2行は軸上の「１」の表示です。

リンク先を開くとその図が出ます。緑の点 z をドラッグすると対応して w が動きます。リンク先のアプリではやっていませんが，Cinderella上で，点wの「足跡を描く」設定にすると次のように足跡が点列で残ります。

点αもドラッグして位置を変えることができます。

　では，計算して，軌跡が円になることを示しましょう。概要です。

$${z}$$ は O$${\alpha}$$ の垂直二等分線上にあるので
　　　$${|z-0|=|z-\alpha|}$$
が成り立ちます。これに $${z=\dfrac{1}{w}}$$ を代入すると
　　　$${\left|w-\dfrac{1}{\alpha} \right|=\dfrac{1}{|\alpha|}}$$
となり，円の方程式になります。原点は除外します。

次に(2) です。

リンク先を開いて，同じように点zを動かしてみましょう。Cinderellaでは「足跡表示」で次のようになります。

円に関する鏡映（反転）

　この東京大学の問題では点$${z}$$ に対して，$${w=\dfrac{1}{z}}$$ としていますが，$${w=\dfrac{1}{\overline{z}}}$$ とした場合を円に関する鏡映（反転）といいます。$${\dfrac{1}{z}}$$ と $${\dfrac{1}{\overline{z}}}$$ は共役なので実軸に関して対称です。次の図がその位置関係です。点$${z}$$ と 点 $${\dfrac{1}{\overline{z}}}$$ は円周に関して対称な位置にあります（鏡映）。

複素数を使わなければ，点P(z) に対して，円の半径を r としたとき，OP×OP'=r$${^2}$$ となる点P' がPの（円に関する）鏡映，という表現もあり，大学入試問題ではこの形で出題されることもあります。
　では，次のリンクをクリックして，円に関する鏡映を試してみましょう。

次の画面が出ます。

 点zをドラッグすると，$${\dfrac{1}{z}}$$ の点と$${\dfrac{1}{\overline{z}}}$$ の点が動きます。$${\dfrac{1}{\overline{z}}}$$の点は円周に関してちょうど反対側（対称点）にくるでしょう。
緑の点をドラッグすると直線の位置が変わります。黒い単位円の中に入れることもできます。
青の点は，青の線分を動かします。鏡映は弧になります。
赤い円は中心をドラッグして位置が変わり，円周をドラッグすると半径が変わります。
いろいろ動かしてみましょう。

※Cinderella（CindyJS）で作成しています。