東京大学2010年：三角関数

問題

Oを原点とする座標平面上に点A$${(-3, \ 0)}$$ と点B,C がある。$${0^{\circ} < \theta <120^{\circ}}$$ としたとき，Bは $${y>0}$$ の部分にあり，OB=2 かつ∠AOB=180°-$${\theta}$$ である。また，Cは $${y<0}$$ の部分にあり，OC=1 かつ∠BOC=120° である。
(1) △OABと△OACの面積が等しいとき，$${\theta}$$ の値を求めよ。
(2) △OABと△OACの面積の最大値とそのときの$${\sin \theta}$$ の値を求めよ。

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図を描いてみれば簡単に計算できる問題でしょう。（見出し画像）
三角比（三角関数）を用いた面積の公式を使えば，
△AOBの面積は $${\dfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot 2 \sin(180^{\circ}-\theta)}$$
△AOCの面積は$${\dfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot 1 \sin(60^{\circ}+\theta)}$$  
ですので，ここから計算すればよいわけです。
(1) の答は $${\theta=30^{\circ}}$$ , (2) の答は $${\dfrac{5\sqrt{7}}{14}}$$ となります。
計算だけならどうということもないのですが，実際にBの位置を変化させて「鑑賞」してみましょう。

リンク先を開くと次の画面になります。右下に「面積表示」というボタンがありますが，これが表示されていない場合は再読み込みしてください。

点Bをドラッグしてみましょう。

「面積表示」ボタンを押すと面積が表示されます。ただし，小数点以下第4位までです。

次の図が(1) の答ですが， 考えてみると，△OABも△OACも辺OA を底辺と考えれば，Bの$${y}$$座標とCの$${y}$$座標の絶対値が等しいとき，すなわち１のときに面積が等しく，OB=2 なので$${\theta=30^{\circ}}$$ になるというのは納得がいきますね。

なお，この図で面積を表示してみると，ぴったり一致はしないかもしれません。Bの位置のわずかな誤差で，ぴったり一致させるのは難しいでしょう。

　さて，上の図で，「底辺OA」に着目しました。それならば，はじめに書いた計算方法で，三角形の面積を公式で求めなくても，「高さが等しい」で高さだけ比べればよいことになります。BとCの$${y}$$ 座標を考えればよいので，$${2 \sin \theta=\sin(60^{\circ}+\theta)}$$　から $${\tan \theta=\dfrac{1}{\sqrt{3}}}$$ が導かれます。
(2) も同様で，高さの和を考えればいいわけです。

次に，中学生向けの問題として，定規とコンパスでこの図の「作図」をどのように行うかを考えてみましょう。$${\theta}$$ は適当にとるとすればBの位置は適当に決められるわけですが，そこからCの位置を作図できますか。Bの位置は，OB=2 なので半径2の円を描いて円周上にとればよいでしょう。

作図ソフトを使うならば，作図手順は，
　(1) 原点中心，半径２の円を描く
　(2) 円周上に点Bをとる
　(3) 線分ABを作図する
となります。Cinderellaでも Geogebra，あるいは他の作図ソフトでも同じでしょうが，作図順に点の名前が自動的につくので，あとからインスペクタで名前（ラベル）を変えることになります。
作図ソフトを使うと，点Bはドラッグして円周上を動かすことができます。
　さて，ここまではよいとして，点Cをどう作図するかが問題です。∠BOC=120° です。いくつか考えられますね。
たとえば
(1) BとOを結んだ直線と円の交点をとる（下図のC）
(2) Cを中心とする半径OCの円を描く。
(3) ２つの円の交点をとる。下図ではDですが，あとからCに名前を変えればよいでしょう。

あるいは，
(1) Bを中心として半径OBの円を描く。
(2) ２つの円の交点をとる（下図のC）
(3) Cを中心とする半径OCの円を描く。
(4) ２つの円の交点をとる（下図のE）と，これが点Ｃになる。

以上，簡単な問題でしたが，いろいろ鑑賞してみました。

※図はCinderella（CindyJS）で作成しています。