東京大学2002年：立体の体積と極限

問題

座標空間内に点 P$${_k \left( \dfrac{k}{n}, \ 1-\dfrac{k}{n}, \ 0\right)}$$ , $${k=0,1, \cdots ,\ n}$$ をとる。また，$${z}$$ 軸上の $${z \geqq 0 }$$ の部分に，P$${_k}$$ Q$${_k=1}$$ である点 Q$${_k}$$ をとる。三角錐 OP$${_k}$$ P$${_{k+1}}$$ Q$${_k}$$ の体積を V$${_k}$$ とするとき，$${ \displaystyle {\lim _{n \rightarrow \infty}\sum _{k=0} ^{n-1}} }$$ V $${_k}$$ を求めよ。
　　　　=========================

　計算は難しくないでしょう。点Q$${_k}$$の座標は距離の計算で出ますし，和の極限は区分求積法の形で，$${\displaystyle {\lim _{n \rightarrow \infty} \sum _{k=0}^{n-1} V_k}=\dfrac{\sqrt{2}}{6} \int _0 ^1 \sqrt{x-x^2}dx }$$ となります。結果は$${\dfrac{\sqrt{2}}{48}\pi}$$。いずれも標準的な手法で求められます。 
　では，できた立体はどのようなものになるでしょうか。もちろん，nが無限大のときの図は描けないので，nがある程度大きな数のときに描ければいいのですが。
　その図が，見出しの図です。カラフルに色をつけてありますが，n=1, 2, ・・・のときにどのようになっていくのかを鑑賞しましょう。

リンク先をクリックすると，初めの図が出ます。 n=１ のときです。

このとき，P$${_0=(0, \ 1, \ 0)}$$，P$${_1=(1, \ 0, \ 0)}$$，Q$${_0=(0, \ 0, \ 0)}$$ ですので，三角錐はできません。底面だけ色塗りされています。

右側にあるスライダで n の値を変えることができます。緑の点をドラッグして n=2 にすると，次の図になります。

P$${_0=(0, \ 1, \ 0)}$$，P$${_1=(\dfrac{1}{2}, \ \dfrac{1}{2}, \ 0)}$$，P$${_2=(1, \ 0, \ 0)}$$，Q$${_0=(0, \ 0, \ 0)}$$，Q$${_1=(\dfrac{\sqrt{2}}{2}, \ 0, \ 0)}$$ ですので、三角錐OP$${_1}$$ P$${_{2}}$$ Q$${_1}$$ ができます。

 n=3 にしてみましょう。

２つの三角錐ができますが，Q$${_1}$$とQ$${_2}$$は同じ点になるので（計算してみましょう），同じ高さの三角錐です。表示もQ$${_1}$$とQ$${_2}$$ が重なっています。

n=4 にしてみましょう。

状況が変わります。三角錐の高さが変わるのです。薄緑と薄紫の三角錐は同じ高さ（Q$${_1}$$とQ$${_3}$$ が重なっています）ですが，水色の三角錐の高さQ$${_2}$$はそれより高くなります。

　本数を増やすとカラフルな図になります。これを鑑賞するだけでも面白いかと。

※図はCinderella（CindyJS） で作成しています。