近畿大学2002：包絡線

問題

座標平面上に，動点P$${(5,\ 10t)}$$ とQ $${(-10t,\ -10t^2)}$$ がある。２点P,Qを通る直線を $${\ell}$$ とする。
(1) 任意の実数 $${t}$$ に対して，直線 $${\ell}$$ の方程式を求めよ。
(2) $${t}$$ がいろいろな実数値をとって変化するとき，直線 $${\ell}$$ の存在する領域を求めよ。
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　実際の問題は，(2) は円の周および外部（１点を除く）であるとされ，その方程式を求めるようになっています。また，全体は穴埋め問題の形式です。
　このような「直線の存在範囲」の問題は，かなりオーソドックスな問題で，領域の境界線は放物線のものが多いでしょう。解法も，たいていは「判別式 D≧0」を使います。
　ちょっと計算してみましょう。

(1) P$${(5,\ 10t)}$$ とQ $${(-10t,\ -10t^2)}$$ を通る直線なので
　　　　$${y=\dfrac{-10t^2-10t}{-10t-5}(x-5)+10t}$$
　として，
　　　　$${(2t^2+2t)x-(2t+1)y+10t^2=0}$$
　となります。

(2) (1) の２次方程式について，判別式 $${D \geqq 0}$$ を使います。ただし，使うのは(1) の２次方程式ではなく，$${t}$$ について整理し直した２次方程式
　　　　$${(2x+10)t^2+(2x-2y)t-y=0}$$
　に対してです。ここで疑問が出るでしょう。
　　・なぜ $${t}$$  について整理し直すのか。
　　・なぜ判別式を使うのか。
　問題集の解答だと，単に「$${t}$$ について整理し，解の実数条件から」と書かれているだけだったりします。説明がないのです。「座標平面で扱っているのは実数だから」ではいまひとつ説明が足りないでしょう。生徒にとってもわかりにくいところです。
　それを考えるためにも，実際に $${t}$$ の値を変化させて状況を見てみましょう。

リンク先をクリックすると，始めは次の画面が出ます。

緑の点をドラッグすると t の値を変えることができます。

Pの座標は $${(5, \ 10t)}$$ なので直線上を動き，Qの座標は$${(-10t,\ -10t^2)}$$ なので放物線上を動くことはわかるでしょう。次の赤の曲線上です。

ただし，この図は表示されません。
P, Qを動かしみて直線PQの「存在領域」をイメージしましょう。
「軌跡　表示」ボタンを押すと，直線PQが何本も引かれます。

このとき，赤いスライダも表示され，このスライダで，表示する直線PQ（軌跡）の本数を変えることができます。

軌跡を表示したままでも緑の点はドラッグできますが，本数が多いと動きが鈍くなります。これは，画面上でなにか操作をするたびに画面を書き換えるため，本数が多いと時間がかかるからです。

　さて，この図を見ながら考えましょう。
領域内の点$${(x,\ y)}$$を直線$${\ell}$$ が通るということは，その点に対応する直線の方程式がある，すなわち係数になる$${t}$$ の値がある，ということです。そこで，$${t}$$ について調べると２次方程式ができて，その実数解が存在する，と考えることになります。なお，判別式は２次方程式に対するものなので，２次方程式にならない場合，すなわち $${x=-5}$$ の場合は除外されます。これが除外点です。
この点は，図でいうと，ちょっと角のように出たところです。この点を通る直線は存在せず，それに近いところまでが描かれます。

　なお，この境界線（ここでは円）のことを「包絡線」といいます。高校の数学の教科書にはこの言葉は載っていません。大学入試問題でも，用語としては登場しませんが，問題としては出るということです。

※図はCinderella（CindyJS）で描いています。