三重大学2007年：２つの円

問題

　座標平面上を２つの円$${C_1, \ C_2}$$ が運動していて，時刻 $${t}$$ における各円の方程式は
　　　$${C_1:\ x^2+y^2-tx-\sqrt{3}ty+t^2 -1=0}$$
　　　$${C_2:\ x^2+y^2+2(\ell-t)x+\ell ^2-2 \ell t+t^2 -1=0}$$
で与えられている。ただし$${\ell}$$ は正の定数である。
２つの円$${C_1, \ C_2}$$ が共有点を持つような時刻 $${t}$$（$${t \geqq 0}$$） が存在するとき，$${\ell}$$ のとりうる範囲を求めよ。
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実際の問題には、導入として，２つの円の中心と半径を求めるようになっていますが，その設問がなくても図を描いて状況を把握するためには必要になる事柄でしょう。
　　　$${C_1:\ \left(x-\dfrac{t}{2}\right)^2+\left(y-\dfrac{\sqrt{3}}{2}t\right)^2=1}$$
　　　$${C_2:\ \{x+(\ell-t)\}^2+y^2=1}$$
となりますので，2つの円の半径はどちらも１だということがわかります。
さらに，$${t}$$ が変化すると，$${C_1}$$の中心は，直線 $${y=\sqrt{3}x}$$上を動き，$${C_2}$$ の中心は$${x}$$ 軸上を動くことがわかるでしょう。
これで，２つの円の動きがイメージできれば，あとは中心間の距離を求めれば，共有点の有無がわかりますね。

　さて，計算は置いておいて，「鑑賞」しましょう。

リンク先を開くと，次の画面になります。

「動かす」ボタンで，２つの円が動きます。

初期値の$${\ell=3}$$ では，２つの円は離れたまま動きます。
緑の点をドラッグして，２つの円を近づけてみましょう。

こんどは途中で交わりました。
初めは離れていて，途中で接するような$${\ell}$$ の値はいくつか，探してみましょう。
時刻$${t}$$ における中心間の距離は $${\sqrt{t^2-\ell t + \ell ^2}}$$ と計算できますので，ここから，２つの円$${C_1, \ C_2}$$ が共有点を持つような時刻 $${t}$$（$${t \geqq 0}$$） が存在するときの$${\ell}$$ のとりうる範囲を求めて確かめましょう。2次不等式 $${t^2-\ell t+ \ell ^2 \leqq 2}$$ の解が存在するための条件の問題になります。

※Cinderella（CindyJS）で作成しています。