【高校数学】自作問題1

今回は自作問題を持て来たので自己満で解説していこうと思います。
個人的に面白いと思ったのでよろしければ一度手を動かしていただければと思います。

<問題>
実数xに対して定義される関数f(x)を
f(x)=x³ - ax² + b²x - c³  
と定める。方程式
f(x)=0
の解がすべて正であるとき、a/cの最大値を求めよ。

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それでは解説させていただきます。

<解答例>
f(x)=0 の解をそれぞれx=α,β,γとおく
ここでα,β,γはともに正なので、相加平均-相乗平均の関係から、

α+β+γ≧3∛αβγ　…①

一方、解と係数の関係から、
α+β+γ=a
αβγ=c³
これらを①に代入して、
a≧3c
c≠0であるから
⇔a/c ≧3
よって等号成立条件α＝β＝γの時、a/cは最大値を取りその値は3.
（終）

いかがだったでしょうか。個人的に計算量は少ないし、解と係数の関係と相加相乗平均の関係だけでサラッと解けるので結構楽しく綺麗に解けるのではないかと思っています。結論、f(x)も
f(x)=(x-α)³
という簡単な形で書けてしまうのも少し面白いですね。
ということで今回の話はここまでさせていただこうと思います。
それではまた！