統計検定準1級ワークブック 4 変数変換の備忘録③

最近、統計検定準1級の勉強を進める中で、
「1変数の変数変換」と「2変数の変数変換」では、
考え方がかなり変わることを実感しています。
前回までは、
Y = g(X)のような1変数変換を扱っていましたが、
今回はさらに進んで、
「2つの確率変数の和の分布」を求める問題に取り組みました。

今回取り上げた問題

今回の問題は、X,Y は独立な指数分布に従う
X+Y の確率密度関数を求めるという内容です。

一見すると単純そうに見えますが、
実際には、
・2変数変換
・ヤコビアン
・周辺化
といった重要な考え方がかなり詰まっていました。

■ アウトプット（手書きメモ）

参考：統計学実践ワークブック
4章 変数変換

■ 今回かなり重要だと思った部分

今回特に大きかったのは、
「2変数変換ではヤコビアンが必要になる」という点でした。
1変数変換では、f(x)/|g'(x)|の形で変換していましたが、
2変数になると、単なる微分ではなく、
“面積の変化”を考える必要があります。
そのため、ヤコビアン行列の行列式が登場します。

今回、
Z = aX + bY
W = Y
という変換を考えました。

最初は、
「なぜこんな変換を置くのか」
がかなり分かりにくかったのですが、
“求めたい変数 Z を含む座標系へ変換している”
と考えると理解しやすくなりました。

■ 変数変換は「見やすい座標へ移す」感覚

今回かなり理解が深まったのは、
変数変換は、“計算しやすい世界へ座標を移している”
という感覚でした。
元々は、(X,Y)という座標で分布を見ていますが、
欲しいのはZ=X+Yの分布です。
なので、(Z,W)という新しい座標へ移し替えることで、
「求めたい方向」が見えるようになります。
これは以前学んだ、「既知から未知を考える」という変数変換の発想とかなりつながっている気がしました。

■ 今回の学び

今回特に重要だと思ったポイントは、
・2変数変換ではヤコビアン（面積の変化率）が重要
・変数変換は座標系を変えるイメージ
という部分です。

今後も、理解が深まったポイントを備忘録として整理していこうと思います。