流体力学の理想形態（完全流体）の物理を知ること -6-

流体力学で理想状態のひとつに見做される「完全流体」について。連続体と仮定した場合に、流体の接線応力（抵抗力）を無視したものとして、完全流体の定義が成されます。

流体圧力を２階のテンソルで表記した場合に、圧力のスカラー量（ｐ）とクロネッカーのデルタ（行列的な対角成分を有値にする処理）と合わせて、次のように表現されます。

$${p_{ij}=-p\delta_{ij}}$$

今回の連載では、完全流体としての物理的な特性を中心に見ていきます。

前回は非圧縮性流体に関する「ポテンシャル流」の話題に移りました。完全流体の渦なし（条件）は継続ですが、より広義的な完全流体の扱い方を確認します。

今回はポテンシャル流の物理（解析学）から力学的問題（発生する力など）を見ていきます。

物体に働く力について

静止流体の中で任意形状の物体が並進運動を行うとして、物体に働く力を確認します。物体がわき出しも吸い込みも存在しない固体壁から成るとして、渦なし流の速度場（速度ポテンシャル）を次のように規定します。

$${\Phi(\bm{s},t)=\bm{u_0}(t)\cdot{\bm{\Phi}(\bm{s})}}$$

流れの各部分に働く力は、ベルヌーイの定理に基づいた圧力方程式から求めることができます。

$${\frac{p}{\rho}=f(t)-\frac{\partial \Phi}{\partial t}-\frac{1}{2}q^2-\Omega}$$

これらを用いて、物体に働く力を次の要領で求めます。なお、力の求め方は物体表面における積分になりますが、右辺の第１項目の時間関数は空間座標に依らないことから、積分には寄与しないことに注意します。

流体に働く力は、上記の流れから次のようになります。なお、記載の通り物体領域の規模がある程度に大きいという付帯条件があります。完全流体が成立する前提の下で、その箇所は最終的にゼロに収束することを意味します。

$${F_i=-m_{ij}\frac{\partial u_{0j}}{\partial t}-\rho\int_{V_0}K_{i}dV}$$

ここで、右辺第１項の係数（テンソル）は「誘導質量テンソル」と呼ばれます。これは物体の運動に起因して発生した流れから生成された「質量」を指します。

$${m_{ij}=-\rho\int_{S_0}\Phi_{j}n_{i}dS}$$

以上から作られる運動方程式は次の通りです。ここで、物体の質量（Ｍ）と物体に働く外力（Ｇ）を係数に用います。

$${(M\delta_{ij}+m_{ij})\frac{\partial u_{0j}}{\partial t}=G_i-\rho\int_{V_0}K_{i}dV}$$

なお、左辺の係数（テンソル）は「見かけの質量テンソル」です。流体の存在が物体の運動に及ぼす影響は、物体の質量を見かける質量（テンソル）に変換、そして浮力の作用の２通りに還元できます。

球体に働く力について

非圧縮性流体の渦なし（流れ）について、運動エネルギーは次のように規定されます。

$${E=-\frac{\rho}{2}\int_{S}\Phi(\textrm{grad}\Phi{\cdot}\bm{n})dS}$$

ここで、物体に対する完全流体を考える場合の速度ポテンシャルを前式に代入することで、物体の運動エネルギーは次のようになります。

$${E=-\frac{\rho}{2}\int_{S_0}u_{0j}\Phi_{j}u_{0i}n_{i}dS=\frac{1}{2}m_{ij}u_{0i}u_{0j}}$$

ここで、誘導質量（テンソル）は物体の運動で誘起された流れを代表する質量を意味します。誘導質量で示される力は、物体の加速度との積ですので、等速運動の場合は消滅します。

実例のひとつとして半径（ａ）の球体（物体）について考えます。ここで、球面上については、位置ベクトルに相当する形は次の通りです。

$${\bm{s}=a\bm{n}}$$

ここから、速度ポテンシャル（ベクトル量）は次の通りです。

$${\bm{\Phi}=-\frac{a^3}{2}\frac{\bm{s}}{|\bm{s}|^3}=-\frac{a}{2}\bm{n}}$$

これより、誘導質量テンソルは次の通りに求められます。球体（物体領域）の体積に変換できます。

$${m_{ij}=\frac{\rho{a}}{2}\int_{S_0}n_{i}n_{j}dS=\frac{1}{2}\rho{V_0}\delta_{ij}}$$

球体（物体領域）の密度が一様であり、外力を重量だけとするならば、球体の運動方程式は次のように表現できます。

$${\frac{\partial \bm{u_0}}{\partial t}=\frac{2(\sigma-\rho)}{2\sigma+\rho}\bm{g}}$$

例えば、球体の密度と流体の密度を比較して前者が圧倒的に大きい場合は、右辺は重力加速度（ベクトル）だけの形になるので、真空中の物体の自由落下運動に近似できます。

逆に後者が圧倒的に大きい場合は、右辺は重力加速度（ベクトル）に負方向に２倍（係数）が掛けられた形（これは実質的に浮力に相当）になります。水中の球形の気泡の運動は、このような形に近似できます。

おわりに

今回はポテンシャル流における速度場の話から、力の変換（力学的問題）に発展させながら、話を扱いました。

次回以降は非圧縮性流体の渦なし（流れ）を前提とした２次元のポテンシャル流について扱います。複素関数を交えた速度ポテンシャルに触れるので、より実践的な話になりそうです。

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最後まで読んで頂き、ありがとうございます。この記事があなたの人生の新たな気づきになれたら幸いです。今後とも宜しくお願いいたします♪♪
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