回転（ベクトル解析）

２次元

逆に難しくなる可能性もあるが
二次元ベクトル空間の座標と周辺微小領域を考える。

ベクトル空間なので空間中に二次元ベクトルが生えていると考える。

ベクトル場の成分はスカラー場であるところの実数値関数である。

$$
\mathbf A(x,y)=\mathbf A(A_x(x,y), A_y(x,y))
$$

ここで
$${\mathbf A}$$はベクトル場
$${A_x(x,y), A_y(x,y)}$$はその成分であるところのスカラー場。

我々はここで８つのベクトルを考える。
まず微小面の四辺を成すベクトル

右辺$${\Delta y \mathbf j}$$
上辺$${-\Delta x \mathbf i}$$
左辺$${-\Delta y \mathbf j}$$
下辺$${\Delta x \mathbf i}$$

ここで$${\mathbf i(1,0)}$$と$${\mathbf j(0,1)}$$は軸に沿った長さ１の標準基底。今、微小領域について考えているのでデルタの係数がつく。

次に微小辺のまんなかに生えるベクトル。
例えば右辺の場合は

$$
\mathbf A(A_x(x+\frac{\Delta x}{2}, y), A_y(x+\frac{\Delta x}{2}, y))
$$

このとき、微小面の他の辺の中央のベクトルも以下のように表現できます。

上辺中央のベクトル

$$
\mathbf{A}\left(A_x\left(x, y + \frac{\Delta y}{2}\right), A_y\left(x, y + \frac{\Delta y}{2}\right)\right)
$$

左辺中央のベクトル

$$
\mathbf{A}\left(A_x\left(x - \frac{\Delta x}{2}, y\right), A_y\left(x - \frac{\Delta x}{2}, y\right)\right)
$$

下辺中央のベクトル

$$
\mathbf{A}\left(A_x\left(x, y - \frac{\Delta y}{2}\right), A_y\left(x, y - \frac{\Delta y}{2}\right)\right)
$$

各微小辺について、微小辺ベクトルと中央のベクトルを内積していきます。
この内積は回転にかかる仕事を算出していくことになります。
中央ベクトルは成分の１つが回転にまったく寄与してないことが分かります。これは微小辺ベクトルの成分の１つがゼロなので、内積の定義による成分同士の積の総和により、中央のベクトルの成分が１つ吹き飛ぶことでもわかります。
これがもし３次元なら、成分は２つ吹き飛びます。

各辺の内積

各辺の中央のベクトルと微小変位ベクトルとの内積の計算過程を詳しく示します。

右辺中央のベクトルと $${\Delta y \mathbf{j}}$$ の内積

右辺中央のベクトルは

$$
\mathbf{A}\left(A_x\left(x + \frac{\Delta x}{2}, y\right), A_y\left(x + \frac{\Delta x}{2}, y\right)\right) = \left(A_x\left(x + \frac{\Delta x}{2}, y\right), A_y\left(x + \frac{\Delta x}{2}, y\right)\right)
$$

微小変位ベクトル $${\Delta y \mathbf{j}}$$ は

$$
\Delta y \mathbf{j} = (0, \Delta y)
$$

この2つのベクトルの内積は

$$
A_x\left(x + \frac{\Delta x}{2}, y\right) \cdot 0 + A_y\left(x + \frac{\Delta x}{2}, y\right) \cdot \Delta y = A_y\left(x + \frac{\Delta x}{2}, y\right) \Delta y
$$

上辺中央のベクトルと $${-\Delta x \mathbf{i}}$$ の内積

上辺中央のベクトルは

$$
\mathbf{A}\left(A_x\left(x, y + \frac{\Delta y}{2}\right), A_y\left(x, y + \frac{\Delta y}{2}\right)\right) = \left(A_x\left(x, y + \frac{\Delta y}{2}\right), A_y\left(x, y + \frac{\Delta y}{2}\right)\right)
$$

微小変位ベクトル $${-\Delta x \mathbf{i}}$$ は

$$
-\Delta x \mathbf{i} = (-\Delta x, 0)
$$

この2つのベクトルの内積は

$$
A_x\left(x, y + \frac{\Delta y}{2}\right) \cdot (-\Delta x) + A_y\left(x, y + \frac{\Delta y}{2}\right) \cdot 0 = -A_x\left(x, y + \frac{\Delta y}{2}\right) \Delta x
$$

左辺中央のベクトルと $${-\Delta y \mathbf{j}}$$ の内積

左辺中央のベクトルは

$$
\mathbf{A}\left(A_x\left(x - \frac{\Delta x}{2}, y\right), A_y\left(x - \frac{\Delta x}{2}, y\right)\right) = \left(A_x\left(x - \frac{\Delta x}{2}, y\right), A_y\left(x - \frac{\Delta x}{2}, y\right)\right)
$$

微小変位ベクトル $${-\Delta y \mathbf{j}}$$ は

$$
-\Delta y \mathbf{j} = (0, -\Delta y)
$$

この2つのベクトルの内積は

$$
A_x\left(x - \frac{\Delta x}{2}, y\right) \cdot 0 + A_y\left(x - \frac{\Delta x}{2}, y\right) \cdot (-\Delta y) = -A_y\left(x - \frac{\Delta x}{2}, y\right) \Delta y
$$

下辺中央のベクトルと $${\Delta x \mathbf{i}}$$ の内積

下辺中央のベクトルは

$$
\mathbf{A}\left(A_x\left(x, y - \frac{\Delta y}{2}\right), A_y\left(x, y - \frac{\Delta y}{2}\right)\right) = \left(A_x\left(x, y - \frac{\Delta y}{2}\right), A_y\left(x, y - \frac{\Delta y}{2}\right)\right)
$$

微小変位ベクトル $${\Delta x \mathbf{i}}$$ は

$$
\Delta x \mathbf{i} = (\Delta x, 0)
$$

この2つのベクトルの内積は

$$
A_x\left(x, y - \frac{\Delta y}{2}\right) \cdot \Delta x + A_y\left(x, y - \frac{\Delta y}{2}\right) \cdot 0 = A_x\left(x, y - \frac{\Delta y}{2}\right) \Delta x
$$

これで各辺の中央におけるベクトルと微小変位ベクトルとの内積が成分を明示した形で求められました。

全部足す

四辺の結果をすべて足し合わせると、以下のようになります。

右辺の内積結果：

$$
A_y\left(x + \frac{\Delta x}{2}, y\right) \Delta y
$$

上辺の内積結果：

$$
-A_x\left(x, y + \frac{\Delta y}{2}\right) \Delta x
$$

左辺の内積結果：

$$
-A_y\left(x - \frac{\Delta x}{2}, y\right) \Delta y
$$

下辺の内積結果：

$$
A_x\left(x, y - \frac{\Delta y}{2}\right) \Delta x
$$

これらをすべて足し合わせると、

$$
A_y\left(x + \frac{\Delta x}{2}, y\right) \Delta y - A_x\left(x, y + \frac{\Delta y}{2}\right) \Delta x - A_y\left(x - \frac{\Delta x}{2}, y\right) \Delta y + A_x\left(x, y - \frac{\Delta y}{2}\right) \Delta x
$$

まとめると

$$
\left( A_y\left(x + \frac{\Delta x}{2}, y\right) - A_y\left(x - \frac{\Delta x}{2}, y\right) \right) \Delta y + \left( A_x\left(x, y - \frac{\Delta y}{2}\right) - A_x\left(x, y + \frac{\Delta y}{2}\right) \right) \Delta x
$$

さらに、これらは有限差分の形式に分解でき、次のように書き直せます：

$$
\frac{\partial A_y}{\partial x} \Delta x \Delta y - \frac{\partial A_x}{\partial y} \Delta x \Delta y
$$

よって、結果の合計は次のようにまとめられます：

$$
\left( \frac{\partial A_y}{\partial x} - \frac{\partial A_x}{\partial y} \right) \Delta x \Delta y
$$

これは、微小面の周囲でのベクトル場の循環、つまりベクトル場の回転$${rot \mathbf A}$$の $${z}$$ 成分を表すものであり、ストークスの定理に関連する形になっています。

３次元

もしも$${xy}$$平面が３次元空間中にあるのなら結果は$${z}$$軸に出力され

$$
\mathbf k \cdot \text{rot} \mathbf A \Delta x \Delta y  = \mathbf k \cdot \left( \frac{\partial A_y}{\partial x} - \frac{\partial A_x}{\partial y} \right) \Delta x \Delta y
$$

となります。
それぞれ他の平面での結果を計算すると、以下のようになります。

$${xz}$$ 平面での結果

$${xz}$$ 平面では、微小面積要素は $${\Delta x \Delta z}$$ であり、$${y}$$ 軸方向に出力される成分を考えます。回転の $${y}$$ 成分は以下の通りです：

$$
\mathbf{j} \cdot \text{rot}  \mathbf{A}  \Delta x \Delta z = \mathbf{j} \cdot \left( \frac{\partial A_z}{\partial x} - \frac{\partial A_x}{\partial z} \right) \Delta x \Delta z
$$

$${yz}$$ 平面での結果

$${yz}$$ 平面では、微小面積要素は $${\Delta y \Delta z}$$ であり、$${x}$$ 軸方向に出力される成分を考えます。回転の $${x}$$ 成分は以下の通りです：

$$
\mathbf{i} \cdot \text{rot}  \mathbf{A}  \Delta y \Delta z = \mathbf{i} \cdot \left( \frac{\partial A_z}{\partial y} - \frac{\partial A_y}{\partial z} \right) \Delta y \Delta z
$$

回転

すべての平面での回転成分をまとめると、ベクトル場 $${\mathbf{A}}$$ の回転は次のように表せます。

$$
\text{rot} , \mathbf{A} = \nabla \times \mathbf{A} = \left( \frac{\partial A_z}{\partial y} - \frac{\partial A_y}{\partial z} \right) \mathbf{i} + \left( \frac{\partial A_x}{\partial z} - \frac{\partial A_z}{\partial x} \right) \mathbf{j} + \left( \frac{\partial A_y}{\partial x} - \frac{\partial A_x}{\partial y} \right) \mathbf{k}
$$

この式は、ベクトル場の回転（カール）を成分ごとに表したもので、以下の通りです：

$${x}$$ 成分（$${yz}$$ 平面の結果）：

$$
\left( \frac{\partial A_z}{\partial y} - \frac{\partial A_y}{\partial z} \right) \mathbf{i}
$$

$${y}$$ 成分（$${xz}$$ 平面の結果）：

$$
\left( \frac{\partial A_x}{\partial z} - \frac{\partial A_z}{\partial x} \right) \mathbf{j}
$$

$${z}$$ 成分（$${xy}$$ 平面の結果）：

$$
\left( \frac{\partial A_y}{\partial x} - \frac{\partial A_x}{\partial y} \right) \mathbf{k}
$$

それぞれの成分は対応する平面での微小面積要素との内積によって得られるため、これらをまとめたものが回転ベクトル $${\nabla \times \mathbf{A}}$$ です。

平面のグリーンの定理とストークスの定理

平面のグリーンの定理とストークスの定理は、ベクトル場とその境界に関する積分の関係を示す重要な定理です。

平面のグリーンの定理

グリーンの定理は、2次元の閉曲線で囲まれた領域 $${D}$$ 上のベクトル場 $${\mathbf{F} = (P, Q)}$$ に対して成り立ち、線積分と面積分の関係を示します。

$$
\oint_{\partial D} (P , dx + Q , dy) = \iint_{D} \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) , dx , dy
$$

この式の左辺は領域 $${D}$$ の境界 $${\partial D}$$ に沿った線積分であり、右辺は領域 $${D}$$ 上の面積分です。ベクトル場 $${(P, Q)}$$ の回転の $${z}$$ 成分が面積分に現れることから、グリーンの定理は平面における回転の概念と深く関係しています。

ストークスの定理

ストークスの定理は、3次元の閉曲線 $${C}$$ とそれによって囲まれる任意の曲面 $${S}$$ に適用されます。ベクトル場 $${\mathbf{A}}$$ に対して、線積分と面積分の関係を示します。

$$
\oint_{C} \mathbf{A} \cdot d\mathbf{r} = \iint_{S} (\nabla \times \mathbf{A}) \cdot d\mathbf{S}
$$

ここで、

• 左辺は、閉曲線 $${C}$$ に沿ったベクトル場 $${\mathbf{A}}$$ の線積分です。

• 右辺は、曲面 $${S}$$ 上でベクトル場 $${\mathbf{A}}$$ の回転 $${\nabla \times \mathbf{A}}$$ の面積分です。

ストークスの定理は、3次元空間における回転を表現し、線積分を面積分に変換する役割を果たします。この定理により、回転場が面の境界線での積分と関連づけられるため、物理や工学において多くの応用があります。

関係性

グリーンの定理は、平面上でのストークスの定理の特別な場合と考えることができます。