Math Blog｜背理法について

初めての投稿は背理法でいきます！（証明ではないです笑）
単純に背理法を人に説明できるようになりたいと思い決めました！

まず簡単に言うと
あることを証明したいときに、
「それが間違っている」とわざと仮定してみる方法です。
その仮定から考えを進めていくと、
「おかしなこと」や「矛盾（むじゅん）」が出てきます。
矛盾が出るということは、もとの仮定が間違いだった、つまり
**「最初に証明したいことは正しい！」**と結論できるのです。

1. 命題Aを証明したい
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2. とりあえず、命題Aが成り立たないと仮定する←ここ大事！
   　　　　　↓

3. 仮定で計算すると矛盾が発生　
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4. 仮定が間違い
   　　　　　↓

5. 命題が正しい

1. 簡単な例

1. 命題「奇数＋奇数は偶数である」を背理法で考えてみましょう。
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2. 「奇数＋奇数＝偶数ではない（奇数になる）」と仮定。
   　　　　　　↓

3. 奇数は 2n+1、2m+1 の形で書ける。
   　(2n+1) + (2m+1) = 2n + 2m + 2 = 2(n+m+1)
   　これは2の倍数、つまり偶数！
   　　　　　　↓

4. 仮定と矛盾！
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5. よって「奇数＋奇数＝偶数」は正しい。

2. 高校生向けの例

1. √2は無理数である。
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2. √2は分数で表せる」と仮定する。←（分数＝有理数なので）
   　　√2 = a/b （a, bは整数で、約分できない形）
   　　　　　　　↓　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

3. 両辺を2乗すると
   2 = a² / b²
   → a² = 2b²
   a²は偶数だから、aも偶数。
   → a = 2k とすると a² = 4k²
   代入すると 4k² = 2b²
   → b² = 2k² だから bも偶数。
   　　　　　　　↓

4. つまり aもbも偶数になってしまう。
   でも「約分できない形」としたのに両方偶数は矛盾！ 
   ➡ よって「√2は分数で表せる」という仮定は間違い。
   　　　　　　　↓

5. √2は無理数

🔑 ポイントは「わざと逆のことを仮定 → 矛盾が出る → だから正しい」とするところです。