多変量解析：判別分析（Discriminat Analysis）
1. 判別分析とは
判別分析は、データに基づいて何らかのグループ分けをするための統計手法です。例えば、ある人の特徴（身長、体重など）を見て、その人が男性か女性かを予測する、といった状況で使われます。すでにグループが分かっているデータ（例：フットボール選手と非選手の身体測定データ）を使って、「この特徴を持つ人はこのグループに属する可能性が高い」というルールを見つけるのが目的です。そして、このルールを新しいデータに適用して、どのグループに属するかを予測します。
2. 境界線やルールを見つける
判別分析の基本的な考え方は、異なるグループのデータが最もよく分かれる「境界線」や「ルール」を見つけることです。これは、判別関数と呼ばれる数式を使って行われます。
例えば、あるグループの平均的な特徴と別のグループの平均的な特徴を比較し、その違いが最も際立つような「軸」を設定します。この軸上で、各データ点がどのグループに近いかを判断するのです。 具体的な手法によって、グループを分ける境界線の形が異なります。
線形判別分析 (LDA)：グループを分ける直線（または平面）を見つけます。これは、各グループのデータのばらつき方（共分散）が同じであると仮定した場合に有効です。
二次判別分析 (QDA)：グループを分ける曲線（または曲面）を見つけます。これは、各グループのデータのばらつき方が異なる場合に、より柔軟な境界線を描くことができます。
k近傍法 (k-NN)：新しいデータが与えられたとき、それに「最も近い」と判断されたk個の既存データのグループに分類します。これは、特定の数式に頼らずに、近くのデータに基づいて判断する直感的な方法です。
3. どんなときに使う？
高校のスポーツチームで、ある生徒が「フットボール選手」か「選手ではない」かを分類したいとします。生徒に関する「頭囲」や「身長」などの身体測定データと、彼らがフットボール選手かどうかという情報があるとします。
判別分析は、これらの測定データを使って、「フットボール選手グループ」と「非選手グループ」が最もよく分かれる判別関数を作り出します。例えば、「頭囲が大きく、身長も高い生徒はフットボール選手である可能性が高い」といったルールが導き出されるかもしれません。 このルールを使って、新しい生徒の身体測定データから、彼がフットボール選手になる可能性を予測できるようになります。
4. 判別分析で分かること
判別分析を通してデータから以下のような知見を得ることができます。
グループ間の区別の度合い：判別分析によって、設定したグループがデータの特徴に基づいてどれくらい明確に分かれているかが分かります。
重要な特徴量：どの変数がグループ分けに最も貢献しているか（判別力が高いか）を知ることができます。上記の例では「頭囲」や「身長」が判別に重要である、ということが示されるかもしれません。
分類の精度：実際にデータを分類したときに、どれくらいの割合で正しく分類できたかを示す分類テーブル（または混同行列）を確認できます。これにより、モデルの予測能力を評価できます。
新規データの予測：分析で得られたルール（判別関数）を使って、まだグループが不明な新しいデータがどのグループに属する可能性が高いかを予測できます。
5. 判別分析で気をつけること
判別分析を行う際は、以下のような点に注意します。
前提条件の確認：特に線形判別分析では、各グループのデータのばらつき方（共分散構造）が同じであるという前提があります。この前提が満たされない場合、二次判別分析など、より柔軟な手法を検討する必要があります。
変数の選択：グループ分けに関係のない変数を含めすぎると、分析の精度が落ちる可能性があります。
グループの重み付け（事前確率）：各グループに属するデータの割合が大きく異なる場合、分類のルールが偏ってしまうことがあります。必要に応じて、事前にグループの出現確率を考慮して調整できます。
解釈の妥当性：分析結果の数字だけでなく、それが現実世界で意味のある解釈ができるかどうかが重要です。判別関数やローディング（各変数の重要度を示す値）を注意深く見ることが求められます。
過学習（オーバーフィット）：分析に使うデータ（訓練データ）にモデルが過剰に適合しすぎると、新しい未知のデータに対して分類性能が低下する可能性があります。
6. まとめ
判別分析は、複数の特徴量を使って、物事を既知のグループに効果的に分類するための強力な統計ツールです。新しいデータがどのグループに属するかを予測したり、グループ分けに重要な特徴量を見つけたりするのに役立ちます。ただし、信頼できる結果を得るためには、分析の前提条件を理解し、適切な手法を選び、注意深く解釈することが不可欠です。