何だこのフラクタル図形？

どうも、108Hassiumです。

この記事では私が発見したフラクタル図形群を紹介したいのですが、せっかくなのでクイズ形式で紹介したいと思います。

画像と説明をもとにして定義を推測してみてください。(解答は記事の末尾にあります)

本題のフラクタル図形は、2変数複素関数$${f(z,c)}$$と2つの実数$${a}$$、$${y}$$によって定義されます。

$${f(z,c)=z^2+c}$$の場合、ジュリア集合と同様に点対称なフラクタル図形になるようです。

また、解析関数のジュリア集合のような樹枝状の模様がありつつも非解析関数のもののように歪んだ形をしているのも特徴的です。(これは$${z^2+c}$$限定の特徴ではないようです)

$${f(z,c)=z^3+c}$$の場合、ジュリア集合と違って3回回転対称にはならないようです。

私は命名という行為が嫌いなので物に名前を付けることはめったにないのですが、あえてこのフラクタル図形に名前を付けるとすれば「XBフラクタル」かなぁと思います。

ジュリア集合とマンデルブロ集合と同じように、XBフラクタルにも対になるフラクタル図形が存在します。

答え

答えです。
　この部分を有料エリアにしようかと一瞬思いましたが、フォロワーが一気に108人ぐらい減りそうなのでやめました。

XBフラクタルは、以下の複素数列$${z_n}$$を$${x}$$と$${b}$$を変えながら計算し、発散・収束速度によって彩色することで得られるフラクタル図形です。

$${\begin{cases}z_0=x+iy\\z_{n+1}=f(z_n,a+ib)\end{cases}}$$

「対になるもの」として紹介したものは$${x}$$と$${b}$$を固定して$${a}$$と$${y}$$を動かした「AYフラクタル」とでもいうべきもので、同じ法則性を適用するとマンデルブロ集合はABフラクタル、ジュリア集合はXYフラクタルという名前になります。