Planar graf

Ein planar graf er i grafteori ein graf som kan teiknast i planet utan at nokre av kantane skjer kvarandre. Ein ikkje-planar graf kan ikkje teiknast på ein slik måte. Ein plan graf er ei slik teikning av ein graf i planet.

Definisjonar

Ein plan graf er ei mengd P av kurver i det todimensjonale rommet (planet) $\mathbb {R} ^{2}$, der kvar kurve har to endepunkt (og dermed ei endeleg lengd), og ingen kurvar skjer kvarandre, eller seg sjølve, anna enn eventuelt i endepunkta.

Ein planar graf er ein abstrakt graf G = (V,E) som tillet ei avbilding f til ein plan graf P. Denne avbildinga består av ein injeksjon f_V frå V til $\mathbb {R} ^{2}$, og ein bijeksjon f_E frå E til P, slik at for kvar kant e = uv ∈ E (der u og v er to, ikkje naudsynt ulike, hjørne i V) er endepunkta til kurven f_E(e) lik punkta f_V(u) og f_V(v).

Det er verdt å merkje seg at desse definisjonane tillet grafar med fleire kantar mellom det same paret av hjørne, og grafar med lykkjer (kantar der båe endepunkta er like). Desse grafane vert kalla pseudografar. Det er fleire omgrep rundt planare grafar (spesielt omgrepet dualitet som er skrive om nedanfor) som gjev mest meining med denne vide graf-definisjonen. Der eit resultat nedanfor krev at grafane er enkle (høgst éin kant mellom kvart par av hjørne, og ingen lykkjer), er dette uttrykkjeleg notert.

Eigenskapar

Ein plan graf av ikosaederet, teikna med rette strekar

Viss ein teiknar ein planar graf i planet, rammar han inn eitt eller fleire område, kalla flater. Viss n er talet på hjørne, m er talet på kantar og f er talet på flater, seier Eulers formel at dersom grafen er samanhangande, så er n - m + f = 2. Ein meir generell formel får ein på dette viset: Viss k er talet på samanhangande komponentar i grafen, så er n - m + f - k = 1.

Det er vist at for kvar enkle plane graf kan ein teikne ein tilsvarande (isotopisk) plan graf der alle kurvene er rette liner. Dette er kjent som Fárys sats (etter István Fáry), men vart visstnok fyrst bevist av Klaus Wagner.

Ein maksimal planar graf er ein enkel planar graf G med det høgste moglege antalet kantar. I ein plan graf av G vil kvar flate vere innramma av nøyaktig tre kantar (og dermed tre hjørne); elles hadde det vore mogleg å leggje til ein ny kant mellom to hjørne på den flata som ikkje allereie hadde ein kant mellom seg. Derfor er maksimale planare grafar òg gjerne kalla trianguleringar, altså at grafen deler planet inn i trekantar.

Sidan alle flater er trekantar i ein maksimal plan graf, må antalet flater vere nøyaktig to tredjedelar av antalet kantar. Av dette, og Eulers formel ovanfor, kan ein vise at m ≤ 3n - 6 for alle enkle planare grafar med minst tre hjørne. Dermed er enkle planare grafar ei glisen klasse av grafar; det gjennomsnittlege talet på naboar av kvart hjørne i ein planar graf må vere lågare enn seks. Dermed finst det ingen planare grafar der alle hjørna har minst seks naboar; men det finst nokre planare grafar, som ikosaeder-grafen, der alle hjørna har minst fem naboar.

Kuratowskis sats

K₅

K_3,3

Den polske matematikaren Kazimierz Kuratowski gav ei karakterisering av planare grafar, no kjend som Kuratowskis sats:

Ein endeleg graf er planar viss og berre viss den ikkje inneheld ein delgraf som er ei underdeling (subdivisjon) av K₅ (den komplette grafen med fem hjørne) eller K_3,3 (den komplette bipartitte grafen med tre hjørne i kvar part).

Wagners sats, bevist av Klaus Wagner, seier at ein endeleg graf er planar viss og berre viss den ikkje inneheld ein delgraf som kan samantrekkjast til K₅ eller K_3,3; eller ekvivalent at den ikkje inneheld K₅ eller K_3,3 som ein minor.

Dualitet

Ein plan graf (svart) og den duale grafen (raud). I dette sertilfellet er grafen og dualen isomorfe.

Gjeve ein samanhangande plan graf P, kan ein definere ein dual plan graf P′ på dette viset: Ein teiknar eitt hjørne i kvar flate av P, og for kvar kant (kurve) e ∈ P teiknar ein éin kant e′ som går frå hjørnet på éi side av e, kryssar e éin gong, og går til hjørnet på den andre sida av e.

Ordet «dual» kjem frå at den opphavelege grafen P i sin tur er dualen åt dualen P′. Dualen åt ein plan graf er eintydig definert, på den måten at det ikkje finst to måtar å teikne ein dual på som gjev ikkje-isotopiske plane grafar. Derimot kan to ulike plane grafar av den same planare grafen gje dualar som ikkje er isomorfe.

Den duale grafen er alltid ein samanhangande pseudograf, men dualen til ein enkel graf er ikkje alltid enkel. Til dømes, om ein kant i den plane grafen P er ei bru, så høyrer båe sidene til den same flata, og den tilsvarande kanten i dualen P′ vert ei lykkje. I ei serstode står dei såkalla 3-samanhangande, enkle planare grafane. Ein graf er 3-samanhangande dersom det ikkje finst nokon måte å ta bort færre enn tre hjørne frå grafen slik at det som står att er ein usamanhangande graf. For kvar plane graf P av ein 3-samanhangande enkel planar graf G, vil den duale grafen P′ òg vere 3-samanhangande og enkel. Dessutan, viss P og Q er to plane grafar av G, så er det garantert at dualane P′ og Q′ er isomorfe; som sagt er dette ikkje sant i det generelle tilfellet.

Steinitz' sats (etter Ernst Steinitz) seier at alle 3-samanhangande enkle planare grafar utgjer diagram av enkle polyeder, som til dømes ikosaederet vist ovanfor. Dei platonske lekamane er relaterte gjennom planare dualar. Tetraederet er sin eigen dual, medan kuben og oktaederet er duale, og dodekaederet og ikosaederet er duale.

Firfargesatsen

Firfargesatsen er eitt av dei mest vidgjetne resultata i grafteorien. Den seier at hjørna i ein enkel planar graf alltid kan verte farga med fire fargar på ein slik måte at to naboar alltid har ulike fargar.

Problemet om ein alltid berre treng fire fargar for å fargeleggje regionane på eit kart vart fyrst nedskrive av Augustus de Morgan i 1852. Regionane på eit kart kan sjåast som flatene i ein plan graf. Ein ser fort at desse flatene kan fargeleggjast slik at tilgrensande område alltid har ulike fargar, viss og berre viss hjørna i den duale grafen kan fargeleggjast slik at naboar alltid har ulike fargar. Problemet er enkelt å setje seg inn i, men det tok over hundre år før eit korrekt bevis vart framlagt. Beviset åt Appel og Haken var det fyrste maskin-assisterte beviset av eit nytt matematisk teorem, og skapte kontrovers i samtida.

Den følgjande, svakare satsen er ikkje vanskeleg å bevise: Alle enkle planare grafar kan fargeleggjast med høgst seks fargar. Som skrive ovanfor inneheld kvar planare graf G minst eitt hjørne, kall det x, med ikkje fleire enn fem naboar. Om ein tek bort x er den resterande grafen G - x framleis planar og inneheld eit hjørne med høgst fem naboar. Slik kan ein «styve» bort hjørne med få naboar frå G eitt etter eitt til ingenting er att. Om ein så startar frå ingenting og legg til hjørna i motsett rekkjefølgje, så har kvart hjørne høgst fem naboar når du legg det til. Sidan ein har seks fargar tilgjengeleg, er det garantert at det er minst éin farge som ikkje er nytta til å fargeleggje nokon av naboane, og ein står dermed fritt til å velje ein av desse unytta fargane.

Eit liknande, men meir sofistikert argument vart brukt av Percy Heawood til å syne at enkle planare grafar kan fargeleggjast med fem fargar. Å bevise firfargesatsen var derimot mykje meir innvikla, og kokte ned til å vise at kvar hypotetiske planare graf som ikkje kan fargeleggjast med fire fargar inneheld minst éin av eit utal (over 1400 i det originale beviset) delgrafar som alltid kan reduserast til ein mindre, hypotetisk ikkje-4-fargeleggbar planar graf. Dermed kan ikkje ein minste ikkje-4-fargeleggbar graf planar eksistere, som ved reductio ad absurdum tyder at alle planare grafar er 4-fargeleggbare. Å kome opp med ei slik mengd delgrafar som alle ikkje-4-fargeleggbare planare grafar måtte innehalda, og å vise at dei alle kunne reduserast, kravde reknekraft frå datamaskiner.

Kjelder

• Bondy, J.A.; Murty, U.S.R. (2008). Graph Theory. Graduate Texts in Mathematics. Springer. ISBN 978-1-84628-969-9.

• Diestel, Reinhard (2005). Graph Theory (3. utg.). Springer.

• Fáry, István (1948), «On straight line representation of planar graphs», Acta Scientiarum Mathematicarum 11 (4): 229-233 

• Wilson, Robin (2016), «Wolfgang Haken and the four-color problem», Illinois Journal of Mathematics 60 (1): 149-168 

• Tucker, A.W. (1935), «Two books on topology», Bulletin of the American Mathematical Society 41: 468-471