在构建预测模型时，一些数据的发布频率可能不一致，例如GDP是每季度发布一次，而工业增加值是每月才发布一次，对于此种情况，可将月度数据进行加总，转换成季度数据后再使用传统的时序模型进行预测建模。此种方法较为简单直接，但其也有不足，即无法充分准确的挖掘高频数据丰富信息。为解决此问题，众多学者提出了不同的混频数据处理模型，常见的有Mixed Frequency Data Sampling Regression Models（MIDAS）模型、Dynamic Factor Model（DFM）模型。这里我们着重探讨一下MIDAS模型的使用。

MIDAS模型形式

MIDAS模型最早由Ghysels提出，其灵感源于分布滞后模型。MIDAS模型最初主要应用于金融领域，当前在宏观经济预测中得到广泛应用，一般形式的 MIDAS模型[1]如下所示

其中

第一部分为低频滞后项，以季度GDP预测为例，往期GDP包含丰富信息，因而被包含到模型当中，第二部分为高频项，为高频变量个数，代表低频变量与高频变量的对应数目，例如要预测季度变量，而自变量为月度变量，一个季度变量由3个月度变量转换而来，那么对应的就是3。

与直接加总不同，MIDAS模型在进行月度到季度的转换时，给每个高频项赋予了一个权重，由确定。各高频项系数之间满足一定的限制关系时， MIDAS被称为restricted MIDAS regression；反之，则被称为unrestricted MIDAS regression，后者可直接使用ols进行估计。对MIDAS高频项系数施加约束时，函数形式有两种：Beta分布多项式、指数 Almon多项式函数。

基于MIDAS模型的实证分析

我们使用MIDAS包自带的数据集来进行实证模型构建，此数据集包含美国月度失业率美国及美国年度GDP，可构建使用美国月度失业率预测年度GDP的模型。

data("USrealgdp")
data("USunempr")
y.ar <- diff(log(USrealgdp))
xx <- window(diff(USunempr), start = 1949)
trend <- 1:length(y.ar)
##Fit AR(1) model
mr_ar <- midas_r(y.ar ~ trend + mls(y.ar, 1, 1) +

                 fmls(xx, 11, 12, nealmon),

                 start = list(xx = rep(0, 3)))

mr_ar

此例子构建了一个Restricted-MIDAS-AR(1)模型，这里面我们需要着重看一下midas_r函数的使用。

midas_r函数第一个参数让传入一个公式对象，指定 MIDAS模型的因变量及自变量。MIDAS模型在进行估计时，需要使用优化算法迭代求解，这就要指定一个起始迭代点，第二个start参数即是指定该起始迭代点。

mls和fmls参数解读

注意到，公式对象使用到了mls和fmls这两个函数，这两个函数参数完全一样，第一个参数指定数据，第二个参数指定滞后阶数，第三个参数指定高低频变量之间的转换数，我们可以参照下图理解这三个参数

把失业率纳入模型当中需要调用3次mls函数，mls(x, 0, 3)、mls(x, 1, 3)及mls(x, 2, 3)，可使用fmls函数一次完成fmls(x, 2, 3)

结果解读

上述代码的输出结果为

MIDAS模型当中我们使用了nealmon约束函数，这里面xx对应的3个值分别就对应nealmon的参数，nealmon函数数学表达式为

第一个参数xx1即对应，第二个xx2对应一次项的，第三个xx3对应一次项的

如果想把约束函数的多项式最高次数改成5次，只需在start参数更改为start = list(xx = rep(0, 6))即可。