7.7 求解最优装载问题

【问题描述】有 $n$ 个集装箱要装上一艘载重量为 $W$ 的轮船，其中集装箱 $i(1\le i\le n)$ 的重量为 $w_i$ 。不考虑集装箱的体积限制，现要选出尽可能多的集装箱装上轮船，使它们的重量之和不超过 $W$ 。

【问题求解】5.3.1小节讨论了简单装载问题，采用回溯法选出尽可能少的集装箱个数。这里的最优解是选出尽可能多的集装箱个数，并采用贪心法求解。当重量限制为 $W$ 时，$w_i$ 越小、可装载的集装箱个数越多，所以采用「优先选取重量轻的集装箱装船」的贪心思路，如图7.5所示。

对 $w_i$ 从小到大排序，得到 $(w_1,w_2,\dots ,w_n)$ 。设最优解向量为 $x=(x_1,x_2,\dots ,x_n)$ ，显然，$x_1=1$ ，则 $x^{\prime }=(x_2,\dots ,x_n)$ 是装载问题 $w^{\prime }=(w_2,\dots ,w_n),W^{\prime }=W-w_1$ 的最优解，满足贪心选择、最优子结构性质。对应的完整程序如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN = 20;						// 最多集装箱个数

// 问题表示
int n = 5, W = 10;
int w[] = {0, 5, 2, 6, 4, 3};				// 各集装箱重量,不用下标为0的元素
// 求解结果表示
int maxw = 0;								// 存放最优解的总重量
int x[MAXN];								// 存放最优解向量
void solve() {								// 求解最优装载问题
	memset(x, 0, sizeof(x));				// 初始化解向量
	sort(w + 1, w + n + 1);					// w[1...n]递增排序
	int restw = W;							// 剩余重量
	for (int i = 1; i <= n && w[i] <= restw; ++i) {
		x[i] = 1;							// 选择集装箱i
		restw -= w[i];						// 减少剩余重量i
		maxw += w[i];						// 累计装载总重量
	}
}
int main() {
	solve();
	printf("最优方案\n");
	for (int i = 1; i <= n; ++i)
		if (x[i] == 1)
			printf("  选取重量为%d的集装箱\n", w[i]);
	printf("总重量=%d\n", maxw);	
	return 0;	
}

上述程序的执行结果如下：

【算法分析】算法的时间主要花费在排序上，时间复杂度为 $O(n{\log }_{2}n)$ 。

7.8 求解多机调度问题

【问题描述】设有 $n$ 个独立的作业 {1,2,…,n}\{ 1, 2, \dots, n\}{1,2,…,n} ，由 $m$ 台相同的机器 {1,2,…,m}\{ 1, 2, \dots, m\}{1,2,…,m} 进行加工处理，作业 $i$ 所需的处理时间为 $t_i(1\le i\le n)$ ，每个作业均可在任何一台机器上加工处理，但未完工前不允许中断，任何作业也不能拆分成更小的子作业。多机调度问题要求，给出一种作业调度方案，使所给的 $n$ 个作业在尽可能短的时间内、由 $m$ 台机器加工处理完成。

【问题求解】采用贪心思路，让最长处理时间的作业优先，即把处理时间最长的作业分配给最先空闲的机器。这样可以保证处理时间长的作业优先处理，从而在整体上获得尽可能短的处理时间。按照最长处理时间的作业优先的贪心策略：

• 当 $m\ge n$ 时，只要将机器 $i$ 的 $[0,t_i)$ 时间区间分配给作业 $i$ 即可；
• 当 $m<n$ 时，首先将 $n$ 个作业依其所需处理时间从大到小排序，然后依此顺序、将作业分配给空闲的处理机。

例如，有 $n=7$ 个独立的作业 $(1,2,3,4,5,6,7)$ ，由 $m=3$ 台机器 $(1,2,3)$ 处理，各机器所需的处理时间如表7.3所示。采用贪心法求解的过程如下：

1. $7$ 个作业按处理时间递减排序，其结果如表7.4所示。
2. 先将排序后的前三个作业分配给三台机器，此时机器的分配情况为 ({4},{2},{5})(\{4\}, \{ 2\}, \{ 5\})({4},{2},{5}) ，对应的总处理时间为 $(16,14,6)$ 。接着分配余下的作业。
3. 分配作业 $6$ ：三台机器中机器 $3$ 在时间 $6$ 后最先空闲，将作业 $6$ 分配给它，此时机器的分配情况为 ({4},{2},{5,6})( \{ 4\} , \{ 2\}, \{ 5, 6\})({4},{2},{5,6}) ，对应的总处理时间为 $(16,14,6+5=11)$ 。
4. 分配作业 $3$ ：三台机器中机器 $3$ 在时间 $11$ 后最先空闲，将作业 $3$ 分配给它，此时机器的分配情况为 ({4},{2},{5,6,3})(\{ 4\}, \{ 2\}, \{ 5, 6, 3\})({4},{2},{5,6,3}) ，对应的总处理时间为 $(16,14,11+4=15)$ 。
5. 分配作业 $7$ ：三台机器中机器 $2$ 在时间 $14$ 后最先空闲，将作业 $7$ 分配给它，此时机器的分配情况为 ({4},{2,7},{5,6,3})( \{4\}, \{ 2, 7\}, \{ 5, 6, 3\})({4},{2,7},{5,6,3}) ，对应的总处理时间为 $(16,14+3=17,15)$ 。
6. 分配作业 $1$ ：三台机器中机器 $3$ 在时间 $15$ 后最先空闲，将作业 $1$ 分配给它，此时机器的分配情况为 ({4},{2,7},{5,6,3,1})( \{4\}, \{2, 7\}, \{ 5, 6, 3, 1\})({4},{2,7},{5,6,3,1}) ，对应的总处理时间为 $(16,17,15+2=17)$ 。

由于每次需要求出最先空闲的机器，即求正在执行作业的 $t$ 最小的机器，为此要采用小根堆，堆中的作业是正在执行的作业，最多 $m$ 个作业。当某个机器执行的作业的 $t$ 最小时，它最先出队，加上当前安排的作业 $j$ 的执行时间，然后继续进队执行。

对应的完整求解程序如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN = 100;

// 问题表示
int n = 7;
int m = 3;
struct NodeType {									// 优先队列结点类型
	int no;											// 作业序号
	int t;											// 执行时间
	int mno;										// 机器序号
	bool operator<(const NodeType &s) const {
		return t > s.t;								// 小根堆
	}
};
NodeType A[] = {{1, 2}, {2, 14}, {3, 4}, {4, 16}, {5, 6}, {6, 5}, {7, 3}};
void solve() {										// 求解多机调度
	if (n <= m) {
		printf("为每个作业分配一台机器\n");
		return;
	}
	sort(A, A + n);									// 按t递减排序
	priority_queue<NodeType> pq;					// 小根堆
	for (int i = 0; i < m; ++i) {					// 首先分配m个作业,每台机器一个作业
		A[i].mno = i + 1;							// 作业对应的机器编号
		printf("    给机器%d分配作业%d, 执行时间为%2d, 占用时间段: [%d, %d)\n",
			A[i].mno, A[i].no, A[i].t, 0, A[i].t);
		pq.push(A[i]);
	}
	for (int j = m; j < n; ++j) {					// 分配余下的作业
		NodeType e = pq.top(); pq.pop();
		printf("    给机器%d分配作业%d, 执行时间为%2d, 占用时间段: [%d, %d)\n",
			e.mno, A[j].no, A[j].t, e.t, e.t + A[j].t);
		e.t += A[j].t;
		pq.push(e);
	}
}
int main() {
	printf("多机调度方案\n");
	solve();		
	return 0;
}

程序的执行结果如下：

【算法分析】排序的时间复杂度为 $O(n\log n)$ ，两次循环的时间分别是 $m,(n-m)\log m$ ，所以本算法的时间复杂度为 $O(n\log n)$ 。

多机调度是NP难问题，到目前为止还没有有效的算法，上述算法是采用贪心法求得的一个较好的近似解。可以通过一个反例，说明上述算法得到的不一定是最优解。例如，$n=7,m=3$ ，作业的执行时间 ={16,14,12,11,10,9,8}= \{16, 14, 12, 11, 10, 9, 8\}={16,14,12,11,10,9,8} 。

• 按照该算法得到的结果是 $31$ ，对应的方案是：机器一执行时间长度为 $16,9$ 的作业（总时间 $25$ ），机器二执行时间长度为 $14,10$ 的作业（总时间为 $24$ ），机器三执行时间长度为 $12,11,8$ 的作业（总时间为 $31$ ）。
• 然而一个最优解是 $27$ ，对应的方案是：机器一执行时间长度为 $16,11$ 的作业（总时间 $27$ ），机器二执行时间长度为 $14,12$ 的作业（总时间为 $26$ ），机器三执行时间长度为 $10,9,8$ 的作业（总时间为 $27$ ）。