Sehne (Geometrie)

Kreis k mit Sehne s (rot), Kreisbögen b₁, b₂ (grün, schwarz) und Peripheriewinkeln phi (φ) und psi (ψ)

Eine Sehne einer ebenen Kurve ist eine Verbindungsstrecke zweier Punkte auf der Kurve. Sie ist also derjenige Teil einer Sekante, der zwischen den beiden Kurvenpunkten liegt.

Sehne am Kreis

Die Sehne eines Kreises teilt den Kreis in zwei in der Regel ungleich große Kreisbögen $b_{1}$ und $b_{2}$, in denen jeweils der Peripheriewinkelsatz gilt: Alle Dreiecke mit der Sehne ${\overline {AB}}$ als Grundseite und einem dritten Punkt $C$ auf einem der Bögen $b_{1}$ oder $b_{2}$ haben im Scheitelpunkt $C$ gleich große Winkel $\varphi$ bzw. $\psi$.

Verläuft die Sehne durch den Kreismittelpunkt $M$, so heißt sie Durchmesser. Der Peripheriewinkel ist dann ein rechter Winkel (Satz des Thales).

Für die Sehnenlänge $s$ gilt

$s=2r\sin \left({\frac {\alpha }{2}}\right)$

und wegen $2\psi =\alpha$ sowie $2\varphi =360^{\circ }-\alpha$

$s=2r\sin \varphi$ und

$s=2r\sin \psi$.

In der Antike wurde die Sehnenlänge mit der heute nicht mehr gebräuchlichen Winkelfunktion chord berechnet (siehe Sehnentabelle von Claudius Ptolemäus). Das Lot der Sehne auf den Kreismittelpunkt wird als Apothema bezeichnet. Die Verlängerung des Lots über die Sehne hinaus auf den Kreisrand nannte man Sagitta. Die Längen von Apothema und Sagitta ergeben zusammen den Kreisradius.

Der indische Mathematiker Aryabhata führte Ende des 5. Jahrhunderts in seiner Schrift Aryabhatiya die Halbsehne ein und nannte sie in Sanskrit jīvā (Sehne). Al-Battânîs (* zw. 850 und 869, † 929) übernahm diesen Gedanken und verwendete das arabische Wort jaib, was „Tasche“ oder „Falte“ bedeutet. Bei der Übersetzung ins Latein wurde daraus der Sinus.

Siehe auch

• Sehnensatz
• Schmetterlingssatz
• Trigonometrische Funktion (Etymologie)
• Zindler-Kurve

Literatur

• Fachredaktion des Bibliographischen Instituts (Hrsg.): Duden Rechnen und Mathematik: Das Lexikon für Schule und Praxis. Bearbeitet von Prof. Dr. Harald Scheid. 4. Auflage. Bibliographisches Institut, Mannheim, Wien, Zürich 1985, DNB 850380359, S. 343. 
• Schülerduden: Mathematik I, Dudenverlag, 8. Auflage, Mannheim 2008, S. 415–418

Weblinks

Commons: Chord (geometry) – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

• Eric W. Weisstein: Chord. In: MathWorld (englisch).