Diedergruppe

In der Gruppentheorie ist die Diedergruppe $D_{n}$ als semidirektes Produkt $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} \rtimes _{g\mapsto g^{-1}}\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ erklärt (siehe unten) und enthält daher genau $2n$ Elemente. Für $n\geq 3$ ist diese Gruppe isomorph zur Isometriegruppe eines regelmäßigen Polygons in der Ebene. Sie ist dann nicht-abelsch und enthält $n$ Drehungen und $n$ Achsenspiegelungen. Ihr Name leitet sich vom Wort Dieder für regelmäßige $n$ -Ecke ab. Diese Gruppen treten häufig in der Geometrie und Gruppentheorie auf, werden von zwei Spiegelungen (Elementen der Ordnung $2$ ) erzeugt und sind damit die einfachsten Beispiele von Coxeter-Gruppen.

Bezeichnungen

Es gibt für Diedergruppen zwei abweichende Bezeichnungen. In der Geometrie schreibt man üblicherweise $D_{n}$ , um den Zusammenhang mit dem regelmäßigen $n$ -Eck zu unterstreichen. In der Gruppentheorie schreibt man oft auch $D_{2n}$ , um stattdessen die Ordnung $2n$ hervorzuheben. Diese Zweideutigkeit lässt sich jedoch leicht durch eine erläuternde Ergänzung beheben. In diesem Artikel steht $D_{n}$ für die Diedergruppe mit $2n$ Elementen.

Definition

Die Diedergruppe $D_{n}$ kann für $n\geq 3$ als die Isometriegruppe eines regelmäßigen $n$ -Ecks in der Ebene definiert werden. Diese besteht aus $n$ Drehungen und $n$ Spiegelungen, hat also insgesamt $2n$ Elemente. Die Isometrien bezeichnet man auch als Symmetrietransformationen. Als Verknüpfung der Gruppe $D_{n}$ dient die Hintereinanderausführung von Symmetrietransformationen. Sie wird häufig mit $\circ$ bezeichnet und die Gruppe dann auch ausführlicher mit $(D_{n},\circ ).$

In den Fällen $n=1$ und $n=2$ führt die geometrische Definition jedoch zu anderen Gruppen. Daher ist hier die algebraische Definition über das semidirekte Produkt $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} \rtimes \mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ vorzuziehen (dabei ist in dem semidirekten Produkt die Operation von $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ auf $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ durch Inversion gegeben). Diese algebraische Definition gilt für alle $n\geq 1$ .

Beispiele

Ein Beispiel ist die Diedergruppe $D_{3}$ der Kongruenzabbildungen eines gleichseitigen Dreiecks auf sich, die isomorph zur symmetrischen Gruppe $S_{3}$ ist. $D_{4}$ ist entsprechend die Symmetriegruppe des Quadrats unter Spiegelungen und Drehungen.

$D_{2}$ ist isomorph zur Kleinschen Vierergruppe und ist die Symmetriegruppe (bestehend nur aus den beiden Spiegelungen, der Drehung um 180° und der Identität) von den vier Ecken eines Quadrats, bei dem nur die rechte und linke Seite eingezeichnet sind (also zwei Zweiecke). $D_{1}$ ist die Symmetriegruppe eines Zweiecks.

$D_{2}$ ist auch die Symmetriegruppe eines nicht gleichseitigen Rechtecks oder einer nicht gleichwinkligen Raute. $D_{1}$ ist auch die Symmetriegruppe eines gleichschenkligen Dreiecks, das nicht gleichseitig ist.

Die folgende Grafik illustriert die Diedergruppe $D_{8}$ anhand der Drehungen und Spiegelungen eines Stoppschildes: Die erste Zeile zeigt die acht Drehungen, die zweite Zeile die acht Spiegelungen.

Matrix-Darstellung

Wir betrachten ein ebenes regelmäßiges $n$ -Eck. Seinen Mittelpunkt wählen wir als Nullpunkt $O$ eines Koordinatensystems, irgendeine seiner $n$ Symmetrieachsen als $x$ -Achse und die Normale dazu (in üblicher Orientierung, sodass sich ein Rechtssystem ergibt) als $y$ -Achse. Die Diedergruppe $D_{n}$ lässt sich dann leicht als Matrizengruppe darstellen. Hierzu sei $r_{k}$ die Drehung um $O$ um den Winkel $\alpha _{k}:=k\cdot 2\pi /n$ und $s_{k}$ die Spiegelung an der Geraden durch $O$ , die im Winkel $\alpha _{k}/2=k\cdot \pi /n$ gegenüber der positiven $x$ -Achse geneigt ist. Als Matrizen schreiben sich diese Transformationen dann so:

r_{k}={\begin{pmatrix}\cos(\alpha _{k})&-\sin(\alpha _{k})\\\sin(\alpha _{k})&\cos(\alpha _{k})\end{pmatrix}}\quad {\text{und}}\quad s_{k}={\begin{pmatrix}\cos(\alpha _{k})&\sin(\alpha _{k})\\\sin(\alpha _{k})&-\cos(\alpha _{k})\end{pmatrix}}

Hierbei fallen folgende Relationen auf:

$r_{k+n}=r_{k}$ und $s_{k+n}=s_{k}$ . Daher können wir uns auf $k=0,1,2,\dotsc ,n-1$ beschränken.
$r_{0}$ , die Drehung um den Winkel $0$ , ist die Identität.
$r_{1}$ ist die Drehung um den Winkel $2\pi /n$ und es gilt $r_{k}=r_{1}^{k}$ für alle $k$ .
$s_{0}$ ist die Spiegelung an der $x$ -Achse und es gilt $s_{k}=r_{k}s_{0}$ für alle $k$ .

Wenn $n$ ungerade ist, dann verläuft jede der $n$ Spiegelachsen durch einen Eckpunkt und den Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite. Für gerades $n$ gibt es hingegen zwei Arten von Spiegelachsen, durch zwei gegenüberliegende Eckpunkte oder durch zwei gegenüberliegende Seitenmittelpunkte.

In dieser Darstellung schreiben sich zum Beispiel die acht Elemente der Diedergruppe $D_{4}$ wie folgt:

{\begin{aligned}r_{0}&={\bigl (}{\begin{smallmatrix}1&0\\0&1\end{smallmatrix}}{\bigr )},&r_{1}&={\bigl (}{\begin{smallmatrix}0&-1\\1&0\end{smallmatrix}}{\bigr )},&r_{2}&={\bigl (}{\begin{smallmatrix}-1&0\\0&-1\end{smallmatrix}}{\bigr )},&r_{3}&={\bigl (}{\begin{smallmatrix}0&1\\-1&0\end{smallmatrix}}{\bigr )},\\[1ex]s_{0}&={\bigl (}{\begin{smallmatrix}1&0\\0&-1\end{smallmatrix}}{\bigr )},&s_{1}&={\bigl (}{\begin{smallmatrix}0&1\\1&0\end{smallmatrix}}{\bigr )},&s_{2}&={\bigl (}{\begin{smallmatrix}-1&0\\0&1\end{smallmatrix}}{\bigr )},&s_{3}&={\bigl (}{\begin{smallmatrix}0&-1\\-1&0\end{smallmatrix}}{\bigr )}.\end{aligned}}

Diese Drehungen und Spiegelungen lassen sich bildlich wie folgt darstellen:

$r_{0}$ (Drehung um 0°)	$r_{1}$ (Drehung um 90°)	$r_{2}$ (Drehung um 180°)	$r_{3}$ (Drehung um 270°)
$s_{0}$ (Spiegelung an der x-Achse)	$s_{1}$ (Spiegelung an der Diagonale y=x)	$s_{2}$ (Spiegelung an der y-Achse)	$s_{3}$ (Spiegelung an der Diagonale y=-x)
Drehungen und Spiegelungen eines Quadrates. Die vier Ecken sind nummeriert und eingefärbt, um die Transformation bildlich darzustellen.

Permutations-Darstellung

Betrachten wir zunächst als Beispiel die Diedergruppe $D_{4}$ . Diese operiert durch Symmetrietransformationen auf einem Quadrat wie in der vorangehenden Grafik gezeigt. Betrachtet man die Aktion der Diedergruppe $D_{4}$ auf den Eckpunkten $1,2,3,4$ , erhält man eine treue Darstellung in die symmetrische Gruppe $S_{4}$ , also einen injektiven Gruppenhomomorphismus $\tau \colon D_{4}\to S_{4}$ . Genauer gesagt wirken die Transformationen auf den Ecken als folgende Permutationen:

{\begin{aligned}\tau (r_{0})&=\left({\begin{smallmatrix}1&2&3&4\\1&2&3&4\end{smallmatrix}}\right),&\tau (r_{1})&=\left({\begin{smallmatrix}1&2&3&4\\2&3&4&1\end{smallmatrix}}\right),&\tau (r_{2})&=\left({\begin{smallmatrix}1&2&3&4\\3&4&1&2\end{smallmatrix}}\right),&\tau (r_{3})&=\left({\begin{smallmatrix}1&2&3&4\\4&1&2&3\end{smallmatrix}}\right),\\[1ex]\tau (s_{0})&=\left({\begin{smallmatrix}1&2&3&4\\4&3&2&1\end{smallmatrix}}\right),&\tau (s_{1})&=\left({\begin{smallmatrix}1&2&3&4\\3&2&1&4\end{smallmatrix}}\right),&\tau (s_{2})&=\left({\begin{smallmatrix}1&2&3&4\\2&1&4&3\end{smallmatrix}}\right),&\tau (s_{3})&=\left({\begin{smallmatrix}1&2&3&4\\1&4&3&2\end{smallmatrix}}\right).\end{aligned}}

Ganz allgemein definiert die Operation der Diedergruppe $D_{n}$ auf den Eckpunkten $P_{1},P_{2},\dotsc ,P_{n}$ eine treue Darstellung $\tau \colon D_{n}\to S_{n}$ . In obiger Notation erhält man zum Beispiel die Permutation

\tau (r_{1})=(1\;\;2\;\;3\,\dots \,n).

In Zyklenschreibweise ist dies die zyklische Permutation, die $P_{1}$ auf $P_{2}$ abbildet, $P_{2}$ auf $P_{3}$ und so weiter, bis schließlich $P_{n}$ auf $P_{1}$ abgebildet wird. Die weiteren Drehungen erhält man hieraus mittels der Relation $r_{k}=r_{1}^{k}$ für alle $k$ . Für die Spiegelung an der Symmetrieachse durch $P_{n}$ erhält man entsprechend in Zyklenschreibweise

\tau (s_{1})=(1\;\,\ n\!-\!1)\,(2\;\,\ n\!-\!2)\dotsm \left({\bigl \lfloor }\!{\tfrac {n-1}{2}}\!{\bigl \rfloor }\;\,\ {\bigl \lfloor }\!{\tfrac {n+2}{2}}\!{\bigl \rfloor }\right)

mit der Gaußschen Ganzteilfunktion $x\mapsto \lfloor x\rfloor$ (die jeder reellen Zahl $x$ die größte ganze Zahl zuordnet, die nicht größer als $x$ ist). Die weiteren Spiegelungen erhält man hieraus mittels der Relation $s_{k+1}=r_{k}s_{1}$ für alle $k$ (mit $s_{n}=s_{0}$ ).

Erzeuger und Relationen

Alle $n$ Drehungen werden von $r=r_{1}$ erzeugt. Diese bilden eine zyklische Untergruppe der Ordnung $n$ und demnach von Index $2$ . Man erhält die gesamte Gruppe durch Hinzufügen einer beliebigen Spiegelung, zum Beispiel $s=s_{0}$ , und so die Präsentation

D_{n}=\left\langle r,s\;{\big |}\;r^{n}=s^{2}=\ srsr=e\right\rangle ,

wobei $e$ das neutrale Element der Gruppe ist.

Aus den letzten beiden Gleichungen folgt $\textstyle sr=r^{-1}s^{-1}$ $\textstyle =r^{-1}s$ und daraus

sr^{k}=r^{-k}s

für alle ganzen Zahlen $k$ (zunächst induktiv nur für $k\geq 0,$ aber hieraus auch $\textstyle sr^{-k}=r^{k}s$ ). Mit $\textstyle r^{n}=e$ ergibt sich noch $\textstyle sr^{k}=r^{n-k}s.$

Die Verkettung von zwei Spiegelungen ist eine Drehung. Ist der Winkel zwischen den beiden Spiegelachsen $\alpha$ , so ist diese Verkettung eine Drehung um den Winkel $2\alpha$ . Das bedeutet, dass die Diedergruppe $D_{n}$ von zwei benachbarten Spiegelungen, zum Beispiel $s_{0}$ und $s_{1}$ , erzeugt wird. Man erhält so die Präsentation

D_{n}=\left\langle s_{0},s_{1}\;{\big |}\;s_{0}^{2}=s_{1}^{2}=(s_{0}s_{1})^{n}=e\right\rangle .

Dies ist der einfachste Fall einer Coxeter-Gruppe.

Für alle Indizes $i$ und $j$ gilt außerdem:

$r_{i}r_{j}=r_{i+j}$
$r_{i}s_{j}=s_{i+j}$
$s_{i}r_{j}=s_{i-j}$
$s_{i}s_{j}=r_{i-j}$

Dabei werden die Indizes jeweils modulo $n$ betrachtet ( $r_{i+n}=r_{i}$ und $s_{i+n}=s_{i}$ ).

Anwendungen

Geometrie

Diedergruppen sind die einfachsten Beispiele von Spiegelungsgruppen. Diese spielen in der klassischen Geometrie eine wichtige Rolle, zum Beispiel bei der Klassifikation der regulären Polyeder. In Dimension $2$ entsprechen hier Diedergruppen den regulären Polygonen.

Codierung

Manche Prüfsummenverfahren beruhen auf Diedergruppen – als Alternative zu diversen modulo-basierten Verfahren. So wurde bei den 11-stelligen Nummern der 10- bis 1000-DM-Banknoten der vierten Serie (der letzten vor dem Euro) ein Prüfzeichen-Code $C$ über der Diedergruppe $D_{5}$ verwendet^[1]^[2] (für die 10-stelligen Nummern der 5-DM-Scheine wurde er in naheliegender Weise modifiziert).

Der Code $C$ lässt sich als die Menge aller 11-Tupel

x=(x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{10},x_{11})\in D_{5}^{11}

auffassen, welche die folgende Kontrollgleichung erfüllen:

f(x_{1})\!\ f^{2}(x_{2})\dotsm f^{10}(x_{10})\!\ x_{11}=e

mit der durch die Skizze gegebenen bijektiven Abbildung $f\colon \,D_{5}\to D_{5}$ und deren Iterierten wie etwa $\textstyle f^{2}=f\circ f\,$ ( $e,$ $r$ und $s$ wie oben). Der Code $C\subseteq D_{5}^{11}$ lässt jeden Einzelfehler erkennen, ebenso jede Nachbar-Vertauschung („Zahlendreher“) – außer der von $x_{10}$ mit $x_{11}$ (es wurde vergessen, $x_{11}$ mit $\textstyle f^{11}$ abzubilden^[1]).

	5 Drehungen					5 Spiegelungen
Gruppenelement	$\,e\,$	$\,r\,$	$r^{2}$	$r^{3}$	$r^{4}$	$\,s\,$	$rs$	$r^{2}\!s$	$r^{3}\!s$	$r^{4}\!s$
Ziffer	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Buchstabe	A	D	G	K	L	N	S	U	Y	Z

Bei den Nummern sind die Gruppenelemente $x_{1},\!\ x_{2},\!\ x_{10}$ durch Buchstaben und $x_{3},\dotsc ,\!\ x_{9},\!\ x_{11}$ durch Ziffern gemäß der Tabelle symbolisiert (die Ziffer an der letzten Stelle ist das Prüfzeichen).

Beispiel. Die Nummer AA6186305Z2 eines 100-DM-Scheins^[2] entspricht dem 11-Tupel

x={\big (}e,e,rs,r,r^{3}\!s,rs,r^{3}\!,e,s,r^{4}\!s,r^{2}{\big )}\in D_{5}^{11}.

Um zu zeigen, dass $x$ die Kontrollgleichung tatsächlich erfüllt, werden zunächst die einzelnen Faktoren der linken Seite an der Skizze abgelesen: $f(e)=r,$ $\textstyle f^{2}(e)=s$ und so fort. Dann wird ihr Produkt bestimmt und vereinfacht, insbesondere mit den drei in Klammern stehenden Rechenregeln in $D_{5}$ für ganzzahliges $k\colon$

\textstyle {\underset {r{\vphantom {r^{0}}}}{f(e)}}\!\ {\underset {s{\vphantom {r^{0}}}}{f^{2}(e)}}\!\ {\underset {r^{3}}{f^{3}(rs)}}\!\ {\underset {r^{4}}{f^{4}(r)}}\!\ {\underset {e{\vphantom {r^{0}}}}{f^{5}(r^{3}\!s)}}\!\ {\underset {rs{\vphantom {r^{0}}}}{f^{6}(rs)}}\!\ {\underset {rs{\vphantom {r^{0}}}}{f^{7}(r^{3})}}\!\ {\underset {e{\vphantom {r^{0}}}}{f^{8}(e)}}\!\ {\underset {r^{3}\!\!\ s}{f^{9}(s)}}\!\ {\underset {r^{2}}{f^{10}(r^{4}\!s)}}\!\ r^{2}

\!{\begin{alignedat}{1}&=rsr^{8}\!srsr^{3}\!sr^{4}&{\big (}sr^{k}=r^{-k}\!s{\big )}^{\vphantom {|}}\\[0.7ex]&=rr^{-8}\!ssrr^{-3}\!ssr^{4}\qquad \;&{\big (}s^{2}=e{\big )}\\[0.7ex]&=r^{-5}=e&{\big (}r^{5k}=e{\big )}\end{alignedat}}

und somit ist auch $x\in C.$

Siehe auch

Unendliche Diedergruppe

Weblinks

Eric W. Weisstein: Dihedral Group. In: MathWorld (englisch).
Stephan-Brumme.com: Der Geldscheintester.

Einzelnachweise

1 2 Albrecht Beutelspacher: Vertrauen ist gut, Kontrolle ist besser! Vom Nutzen elementarer Mathematik zum Erkennen von Fehlern. In: Jahrbuch Überblicke Mathematik. 1995, ISSN 0172-8512, DNB 011466979, S. 27–37.
1 2 Ralph-Hardo Schulz: Codierungstheorie. Eine Einführung. 2., aktualisierte und erweiterte Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2003, ISBN 3-528-16419-0, S. 64–66.

[Beutelspacher1995-1] 1 2 Albrecht Beutelspacher: Vertrauen ist gut, Kontrolle ist besser! Vom Nutzen elementarer Mathematik zum Erkennen von Fehlern. In: Jahrbuch Überblicke Mathematik. 1995, ISSN 0172-8512, DNB 011466979, S. 27–37.

[Schulz2003-2] 1 2 Ralph-Hardo Schulz: Codierungstheorie. Eine Einführung. 2., aktualisierte und erweiterte Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2003, ISBN 3-528-16419-0, S. 64–66.

[1]

[2]