Logaritmus

Titulní strana logaritmických tabulek Joosta Bürgiho otištěných v Praze roku 1620

Logaritmus kladného čísla y je exponent (mocnitel), na který musí být umocněna jistá pevná hodnota, základ, aby vyšlo číslo y. Například logaritmus čísla 1000 se základem 10 je 3, protože 10 na třetí je 1000 (1000 = 10 × 10 × 10 = 10³). Obecně pro libovolná dvě reálná čísla b a x, kde b je kladné a různé od jedné, platí definice

$x=\log _{b}y\Leftrightarrow y=b^{x}$,

čili x je logaritmus y při základu b právě když y se rovná b na x-tou. Podmínka b ≠ 1 je nezbytná proto, že jednička umocněná na libovolné číslo dává stále jedničku, takže nemůže sloužit jako použitelný základ logaritmů. A podmínka b > 0 plyne z toho, že umocňování záporných čísel na libovolný reálný exponent není definováno. Číslo y musí být kladné, jelikož b je kladné a umocněním kladného čísla na jakýkoli exponent dostaneme opět kladné číslo; nulu a záporná čísla tedy logaritmovat nelze. Číslo x, výsledek logaritmování, může v závislosti na b a y nabývat všech reálných hodnot.

Logaritmy uveřejnil skotský matematik John Napier v roce 1614, i když možná již o několik let dříve je nezávisle objevil v Praze působící mechanik Joost Bürgi, který však své tabulky vydal až roku 1620. Současné pojetí logaritmu pochází od Leonharda Eulera, který jej v 18. století spojil s exponenciální funkcí. Vynález logaritmů zjednodušil výpočty pomocí logaritmických tabulek a později logaritmických pravítek. Proto logaritmy rychle přijali mořeplavci, vědci, inženýři a další profesionálové. Umožnily jim totiž převést některé náročné početní operace na jednodušší. Například násobení čísel lze převést na jednodušší sčítání, protože logaritmus součinu je součet logaritmů činitelů:

$\log _{b}xy=\log _{b}x+\log _{b}y,$

takže stačí pomocí tabulek zjistit logaritmy činitelů, sečíst je, odlogaritmovat výsledek opět pomocí stejných tabulek, a tím získat součin, aniž by bylo potřeba cokoli násobit.

Logaritmus se základem 10 se nazývá dekadický neboli desítkový a má mnoho aplikací ve vědě a technice. Přirozený logaritmus má jako základ Eulerovo číslo e (≈ 2,718) a používá se v čisté matematice, zejména v diferenciálním počtu. Běžně se používá také binární logaritmus, který má základ 2 a je důležitý pro matematickou informatiku. Stejně jako logaritmus je inverzní k umocňování, komplexní logaritmus je inverzní funkcí exponenciální funkce aplikované na komplexní čísla. Diskrétní logaritmus je další varianta; používá se zejména v asymetrické kryptografii. Logaritmické stupnice umožňují zmenšit veličiny s velkým rozpětím hodnot na lépe uchopitelné hodnoty. Například decibel je logaritmická jednotka, která udává poměr fyzikální veličiny (obvykle energie nebo intenzity) k referenční úrovni, tj. stanoví poměr mezi uvolněnými energiemi. V chemii podobně logaritmicky měří pH kyselost a zásaditost vodních roztoků. Logaritmy jsou také běžné ve vědeckých vzorcích, v teorii složitosti a při popisu geometrických útvarů zvaných fraktály. Popisují hudební intervaly, objevují se ve vzorcích, které počítají prvočísla, vystupují v různých modelech psychofyziky a pomáhají ve finančnictví.

Motivace a definice

Před vynálezem kalkulátorů bylo ruční násobení a dělení velkých čísel zdlouhavé a náchylné k chybám. Logaritmy umožnily tento problém elegantně obejít: protože logaritmus součinu se rovná součtu logaritmů, stačilo místo násobení provést pouhé sčítání – operaci podstatně snazší. Postup byl následující: z logaritmických tabulek se vyčetly logaritmy obou činitelů, ty se sečetly a výsledný součet se pomocí téže tabulky převedl zpět, odlogaritmoval – a tím byl součin hotov. Podobně šlo převést dělení na odčítání, umocňování na násobení a odmocňování na dělení. Pokud stačilo počítat s přesností na dvě až tři platné číslice, výpočet ještě urychlilo logaritmické pravítko. Tento přístup byl natolik výhodný, že logaritmy rychle pronikly do astronomie, navigace, inženýrství i obchodu a zůstaly nepostradatelným výpočetním nástrojem po více než tři staletí – než je v 70. letech 20. století nahradily elektronické kalkulátory.

Myšlenkou logaritmů je obrátit (invertovat) operaci umocňování. Například třetí mocnina čísla 2 je 8, protože 8 je součin tří činitelů rovných dvěma:

$2^{3}=2\times 2\times 2=8.$

Z toho vyplývá, že logaritmus 8 o základu 2 je 3, tedy:

log₂ 8 = 3.

Třetí mocnina libovolného čísla b je součin tří činitelů b. Obecněji, umocnění b na n-tou mocninu, kde n je přirozené číslo, se provádí vynásobením n činitelů rovných b. n-tá mocnina b se zapisuje jako bⁿ, což znamená:

$b^{n}=\underbrace {b\times b\times \cdots \times b} _{n{\text{ činitelů}}}.$

Umocňování lze rozšířit na b^y, kde b je kladné číslo a exponent y je libovolné reálné číslo. Například b⁻¹ je převrácená hodnota b, tedy 1/b.

Definice

Logaritmus kladného reálného čísla $x$ při základu $b$ je exponent, na který musí být umocněn základ $b$, aby výsledek byl $x$, přičemž $b$ je kladné reálné číslo různé od $1$. Jinými slovy, logaritmus čísla $x$ při základu $b$ je řešení $y$ rovnice $b^{y}=x$:

$\log _{b}x=y\Leftrightarrow b^{y}=x$,kde

• $b$ je základ logaritmu;
• $x$ je logaritmované číslo (logaritmand);
• $y$ je samotný logaritmus.

Příklady

Logaritmus je celé číslo právě tehdy, když logaritmované číslo je celou mocninou základu. Například

$\log _{2}16=4$, protože $2^{4}=2\times 2\times 2\times 2=16$.

Logaritmy mohou být také záporné:

$\log _{2}\!\left({\frac {1}{2}}\right)=-1,$

protože

$2^{-1}={\frac {1}{2^{1}}}={\frac {1}{2}}.$

Třetí příklad: log₁₀(150) je přibližně 2,176, což leží mezi 2 a 3, stejně jako 150 leží mezi (10² = 100) a (10³ = 1 000).

Dále pro libovolný základ b platí log_b(b) = 1 jakož i log_b(1) = 0, protože b¹ = b a b⁰ = 1.

Logaritmické identity

Různé vzorce popisují vztah jednoho logaritmu k druhému; nazývají se logaritmické identity.

Pro každý přípustný základ b především platí

$\log _{b}b=1$

a

$\log _{b}1=0$.

Součin, podíl, mocnina a odmocnina

Následující logaritmické identity lze odvodit přímo z definice logaritmu $x=b^{\log _{b}x}$ a/nebo $y=b^{\log _{b}y}$. Vzorce v tabulce zároveň ukazují, jak logaritmy zjednodušily ruční výpočty: umožňují převést násobení na sčítání, dělení na odčítání, umocňování na násobení a odmocňování na dělení. Ve všech vzorcích musí mít logaritmy stejný základ.

	Vzorec	Popis	Příklad
součin	$\log _{b}xy=\log _{b}x+\log _{b}y$	Logaritmus součinu je součtem logaritmů násobených čísel	$\log _{3}243=\log _{3}(9\cdot 27)=\log _{3}9+\log _{3}27=2+3=5$
podíl	$\log _{b}\!\left({\frac {x}{y}}\right)=\log _{b}x-\log _{b}y$	Logaritmus podílu je rozdílem logaritmů	$\log _{2}16=\log _{2}\!\left({\frac {64}{4}}\right)=\log _{2}64-\log _{2}4=6-2=4$
mocnina v logaritmovaném čísle	$\log _{b}x^{p}=p\log _{b}x$	Logaritmus p-té mocniny čísla je p-násobek logaritmu daného čísla	$\log _{2}64=\log _{2}2^{6}=6\log _{2}2=6$
odmocnina	$\log _{b}{\sqrt[{p}]{x}}={\frac {\log _{b}x}{p}}$	Logaritmus p-té odmocniny čísla se rovná logaritmu čísla dělenému p.	$\log _{10}{\sqrt {1000}}={\frac {1}{2}}\log _{10}1000={\frac {3}{2}}=1,5$

Důležitý speciální případ vzorce ve druhém řádku je $\log _{b}\!\left({\frac {1}{x}}\right)=-\log _{b}x$.

Změna základu

Logaritmus log_b x lze vypočítat z logaritmů x a b, obou při libovolném základu k, pomocí následujícího vzorce:

$\log _{b}x={\frac {\log _{k}x}{\log _{k}b}}.$

Typické vědecké kalkulačky počítají logaritmy se základy 10 a e. Logaritmy při libovolném základu b lze určit pomocí některého z těchto logaritmů podle vzorce:

$\log _{b}x={\frac {\log _{10}x}{\log _{10}b}}={\frac {\log _{e}x}{\log _{e}b}}.$

Je-li dán číslo x a jeho logaritmus log_b x, neznámý základ b je dán vztahem:

$b=x^{\frac {1}{\log _{b}x}}.$

Speciální základy

Grafy logaritmických funkcí o základech 1/2 (modře), 2 (zeleně) a e (červeně)

Mezi všemi možnostmi pro základ jsou zvlášť běžné tři, b = 10, b = e (matematická konstanta zvaná Eulerovo číslo, e ≈ 2,71828183) a b = 2 (binární logaritmus).

V matematické analýze je rozšířené použití logaritmu se základem e, zvanému přirozený logaritmus; nazývá se tak proto, že má derivaci

$(\ln x)'={\tfrac {1}{x}}$,

zatímco pro libovolný jiný základ b je vzorec složitější:

$(\log _{b}x)'={\tfrac {1}{x\ln b}}$.

Přirozený logaritmus tak je nejjednodušší volbou v matematice a fyzice všude tam, kde se pracuje s diferenciálními rovnicemi nebo integrály – je přímo primitivní funkcí k ${\tfrac {1}{x}}$.

Logaritmy o základu 10 (dekadický logaritmus) jsou snazší pro ruční výpočty v desítkové číselné soustavě. Platí

$$\log _{10}\,(\,10\,x\,)\ =\;\log _{10}10\ +\;\log _{10}x\ =\ 1\,+\,\log _{10}x\,.$$

Proto se log₁₀ x také přibližně rovná počtu cifer v zápisu přirozeného (kladného celého) čísla x. Konkrétně platí, že pokud x je přirozené číslo, tak

počet cifer v zápise x = nejmenší celé číslo vyšší než log₁₀ x = $\lfloor \log _{10}x\rfloor +1$.

Například log₁₀ 1430 je přibližně 3,15; nejbližší vyšší celé číslo je 4, což je počet cifer čísla 1430. Pokud x > 1 není celé, tak tento vzorec dává počet cifer před desetinnou čárkou, a pokud 0 < x < 1, dostaneme záporně vzatý počet nul mezi desetinnou čárkou a první platnou cifrou v desetinném zápisu čísla x. Podobný vztah platí také mezi počtem cifer zápisu čísla ve dvojkové soustavě a logaritmem o základu 2 atd.

Jak přirozený logaritmus, tak binární logaritmus se používají v teorii informace a odpovídají použití natů nebo bitů jako základních jednotek informace. Binární logaritmy se také používají v matematické informatice, kde je binární systém všudypřítomný; v hudební teorii, kde oktáva je poměr dvou tónů s frekvencemi v poměru 2 : 1 a počet centů mezi libovolnými dvěma tóny je škálovaná verze binárního logaritmu, neboli log₂ krát 1200 při 100 centech na půltón v konvenčním rovnoměrně temperovaném ladění, nebo ekvivalentně logaritmus se základem 2^1/1200; a ve fotografii, kde se logaritmy se základem 2 používají při měření expozičních hodnot, úrovní světla, časů expozice, clon objektivů a fotografické citlivosti.

Zkratka log x se často používá, když lze zamýšlený základ odvodit z kontextu nebo oboru, nebo když je základ neurčitý nebo nepodstatný. Dekadické logaritmy (základ 10), historicky používané v logaritmických tabulkách a logaritmických pravítkách, jsou základním nástrojem pro měření a výpočty v mnoha oblastech vědy a inženýrství; v těchto kontextech log x obvykle znamená logaritmus se základem deset. V čisté matematice log x někdy znamená přirozený logaritmus (základ e). V matematické informatice a teorii informace se log často vztahuje k binárním logaritmům (základ 2). Vedle toho existuje specifická notace pro logaritmy tří nejběžnějších základů, kterou uvádí následující tabulka. Sloupec ISO zápis uvádí označení navržená Mezinárodní organizací pro normalizaci.

Základ b	Název pro logb x	ISO zápis	Jiné zápisy
2	binární logaritmus	lb x	ld x, log x, lg x, log2 x
e	přirozený logaritmus	ln x	log x, loge x
10	dekadický logaritmus	lg x	log x, log10 x
b	logaritmus o základu b	logb x

Dějiny

Předchůdci

Babyloňané mezi lety 2000–1600 př. n. l. možná vynalezli násobení pomocí čtvrtin čtverců k vynásobení dvou čísel pouze pomocí sčítání, odčítání a tabulky čtvrtin čtverců. Tento postup je založen na vzorci

$xy={\frac {\left(x+y\right)^{2}}{4}}-{\frac {\left(x-y\right)^{2}}{4}}$.

Nedá se však použít pro dělení bez dodatečné tabulky převrácených hodnot (nebo znalosti dostatečně jednoduchého algoritmu pro jejich generování). Velké tabulky čtvrtinových čtverců se používaly ke zjednodušení přesného násobení velkých celých čísel ještě ve 20. století, dokud tuto metodu nenahradilo použití počítačů.

Indický matematik Virasena pracoval s konceptem ardhaccheda, což je počet, kolikrát lze číslo tvaru 2ⁿ dělit dvěma. Pro přesné mocniny dvou je to logaritmus o tomto základu, což je celé číslo; pro ostatní čísla je nedefinovaný. Popsal vztahy jako vzorec pro součin a také zavedl celočíselné logaritmy se základem 3 (trakacheda) a 4 (caturthacheda).

Michael Stifel vydal v Norimberku v roce 1544 pojednání Arithmetica integra, obsahující tabulku celých čísel a mocnin dvou, která je považována za ranou verzi logaritmické tabulky.

Na konci 16. a začátku 17. století se k přibližnému násobení a dělení používal algoritmus zvaný prostaférese. Ten využíval trigonometrickou identitu

$\cos \,\alpha \,\cos \,\beta ={\frac {1}{2}}[\cos(\alpha +\beta )+\cos(\alpha -\beta )]$

nebo podobnou k převodu násobení na sčítání hodnot zjištěných v tabulkách. Logaritmy jsou však přímočařejší a vyžadují méně práce. S použitím Eulerova vzorce lze ukázat, že obě metody spolu souvisejí.

Od Napiera k Eulerovi

John Napier (1550–1617), vynálezce logaritmů.

Metoda logaritmů byla veřejně představena Johnem Napierem roku 1614 v knize nazvané Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio (Popis podivuhodného pravidla logaritmů). Roku 1617 pak publikoval první tabulky dekadických („Briggsových“) logaritmů Angličan Henry Briggs. Nezávisle na nich sestavil v Praze působící Švýcar Joost Bürgi tabulku mocnin se základem velmi blízkým 1, a tato tabulka poskytovala dobrou shodu mezi celými čísly 1–10 (nebo 10–100 atd.) a exponenty, které bylo možné sčítat. Jeho tabulka však byla vytištěna teprve v roce 1620, i když vznikla snad už o deset let dříve, takže prvenství připadlo Napierovi. Bürgi navíc nedefinoval abstraktní spojitou funkci jako Napier a také se nezabýval přesností interpolací, což rovněž Napier řešil.

Johannes Kepler, který intenzivně používal logaritmické tabulky pro sestavení svých Efemerid, které pak věnoval Napierovi, poznamenal: „…důraz na výpočty zavedl Justa Byrgia [Joosta Bürgiho] na cestu k těmto logaritmům mnoho let před tím, než se objevil Napierův systém; ale… místo aby svého syna [svůj výtvor] předložil ve prospěch veřejnosti, opustil ho hned při zrodu.“

Napier neměl k dispozici moderní pojem exponenciální funkce, a tak svou tabulku sestavil zdlouhavou metodou opakovaného odčítání. Její pomocí vypočítal (1 − 10⁻⁷)^L pro L měnící se od 1 do 100. Výsledek pro L=100 je přibližně 0,99999 = 1 − 10⁻⁵. Napier pak vypočítal součiny těchto čísel s 10⁷(1 − 10⁻⁵)^L pro L od 1 do 50 a podobně postupoval s 0,9998 ≈ (1 − 10⁻⁵)²⁰ a 0,9 ≈ 0,995²⁰. Těmito výpočty, které trvaly dvacet let, našel pro libovolné číslo N od 5 do 10 milionů číslo L, které řeší rovnici

$N=10^{7}{(1-10^{-7})}^{L}.\,$

Napier nejprve nazval L „umělým číslem“, ale později zavedl termín „logaritmus“ pro označení čísla, které udává poměr: λόγος (logos) znamená poměr a ἀριθμός (arithmos) znamená číslo. V moderní notaci je vztah pro přirozené logaritmy

$L=\log _{(1-10^{-7})}\!\left({\frac {N}{10^{7}}}\right)\approx 10^{7}\log _{\frac {1}{e}}\!\left({\frac {N}{10^{7}}}\right)=-10^{7}\log _{e}\!\left({\frac {N}{10^{7}}}\right),$

kde aproximace odpovídá pozorování, že

${(1-10^{-7})}^{10^{7}}\approx {\frac {1}{e}}.\,$

Vynález logaritmů byl rychle a široce přijat. Práce Bonaventury Cavalieriho (Itálie), Edmunda Wingata (Francie), Süe Feng-cua (Čína) a Johannese Keplera (Německo) pomohly šířit a dále prohlubovat koncept a užitečnost logaritmů.

Hyperbola y = 1/x (červená křivka) a její plocha od x = 1 do 6 (oranžově šrafovaná).

V roce 1649 Alphonse Antonio de Sarasa, bývalý žák Grégoira de Saint-Vincent, spojil logaritmy s kvadraturou hyperboly a ukázal, že plocha f(t) pod grafem od x = 1 do x = t splňuje

$f(tu)=f(t)+f(u).\,$

Přirozený logaritmus poprvé popsal Němec Nikolaus Mercator ve svém díle Logarithmotechnia, publikovaném v roce 1668, ačkoli učitel matematiky John Speidell na základě Napierovy práce již v roce 1619 sestavil tabulku vysvětlující, co jsou přirozené logaritmy. Kolem roku 1730 Leonhard Euler definoval exponenciální funkci a přirozený logaritmus jako

$e^{x}=\lim _{n\rightarrow \infty }(1+x/n)^{n},$

$\ln x=\lim _{n\rightarrow \infty }n(x^{1/n}-1).$

Euler také ukázal, že jedna funkce je inverzní k druhé.

Tabulky logaritmů

Definice logaritmů podle Encyclopædia Britannica (1797).

Zjednodušením obtížných výpočtů přispěly logaritmy k pokroku vědy, zejména astronomie. Byly klíčové pro pokroky v zeměměřičství, astronavigaci a dalších oborech. Pierre-Simon Laplace o logaritmech poznamenal:

"... obdivuhodný vynález, který zkrácením práce mnoha měsíců na několik dní zdvojnásobuje život astronomů a šetří je od chyb a zklamání neoddělitelných od dlouhých výpočtů."

Klíčovým nástrojem, který umožnil praktické využití logaritmů před kalkulačkami a počítači, byly logaritmické tabulky. První takovou tabulku sestavil Henry Briggs v roce 1617, bezprostředně po Napierově vynálezu. Později byly publikovány tabulky s větším rozsahem a přesností. Uváděly hodnoty log_b x a b^x pro libovolné číslo x v určitém intervalu, s danou přesností, pro určitý základ b (obvykle 10). Například Briggsova první tabulka obsahuje dekadické logaritmy všech celých čísel od 1 do 1000 s přesností na osm číslic. Protože funkce b^x je inverzní funkcí k log_b x, byla nazývána antilogaritmus. Součin a podíl dvou kladných čísel c a d se rutinně počítal pomocí součtu a rozdílu jejich logaritmů. Součin cd nebo podíl c/d se našel pomocí antilogaritmu součtu nebo rozdílu ve stejné tabulce:

$cd=b^{\log _{b}c}\,b^{\log _{b}d}=b^{\log _{b}c+\log _{b}d}\,$

a

${\frac {c}{d}}=cd^{-1}=b^{\log _{b}c-\log _{b}d}.\,$

Pro ruční výpočty vyžadující značnou přesnost je vyhledání dvou logaritmů (v logaritmické tabulce), provedení jejich součtu nebo rozdílu a nalezení antilogaritmu v tabulce mnohem rychlejší než násobení předchozími metodami, jako je prostaférese, která závisí na goniometrických identitách. Výpočty mocnin a odmocnin se redukují na násobení nebo dělení následovně:

$c^{d}=(b^{\log _{b}c})^{d}=b^{d\log _{b}c}\,$

a

${\sqrt[{d}]{c}}=c^{\frac {1}{d}}=b^{{\frac {1}{d}}\log _{b}c}.\,$

Mnoho logaritmických tabulek uvádí logaritmy odděleně podle charakteristiky a mantisy x, tedy podle celé části a desetinné části log₁₀ x. Charakteristika čísla 10 · x je o 1 větší než charakteristika x a jejich mantisy jsou stejné. Tím se rozšiřuje rozsah logaritmických tabulek: pokud tabulka uvádí log₁₀ x pro všechna celá čísla od 1 do 1000, logaritmus čísla 3542 je přibližně:

$\log _{10}3542=\log _{10}(10\cdot 354,2)=1+\log _{10}(354,2)\approx 1+\log _{10}354.\,$

Logaritmické pravítko

Další klíčovou aplikací bylo logaritmické pravítko, dvojice logaritmických stupnic používaná pro rychlé násobení a dělení.

Schéma logaritmického pravítka. V tomto příkladu je vybráno číslo 2 na dolní stupnici a 3 na horní, takže na dolní můžeme odečíst 6 jako výsledek násobení těchto dvou čísel. Vzdálenost mezi 1 a x na stupnici je úměrná logaritmu x.

Graf logaritmu o základu 2 protíná osu x v bodě x = 1 a prochází body se souřadnicemi (2, 1), (4, 2) a (8, 3). Graf se přibližuje k ose y, ale nikdy se jí nedotkne, protože logaritmus nuly není definován.

Pevná logaritmická stupnice Edmunda Guntera byla vyvinuta krátce po Napierově vynálezu. Anglický kněz a matematik William Oughtred ji vylepšil, přidal druhou, pohyblivou stupnici, a vytvořil logaritmické pravítko – dvojici posuvných logaritmických stupnic, na kterých jsou čísla umístěna ve vzdálenostech úměrných rozdílům jejich logaritmů. Posouvání horní stupnice vůči dolní umožňuje snadné sčítání a odčítání logaritmů. Například nastavením 2 na dolní stupnici proti 3 na horní stupnici odečteme na dolní stupnici součin 6. Logaritmické pravítko bylo nezbytným nástrojem inženýrů a vědců až do 70. let 20. století, protože umožňuje, i když s nižší přesností, mnohem rychlejší výpočty než techniky založené na logaritmických tabulkách.\

Analytické vlastnosti

Hlubší studium logaritmů vyžaduje pojem funkce, což je jednoznačný vztah (relace) mezi dvěma číselnými množinami, pevně propojující jejich prvky. Příkladem je exponenciální funkce, ve které n-tá mocnina b dává reálné číslo y. Tato funkce se zapisuje:

$f(n)=b^{n}.$

Logaritmická funkce

Aby byla definice logaritmu opodstatněná, je třeba ukázat, že rovnice $b^{x}=y$ má řešení x a že toto řešení je jediné, za předpokladu, že y je kladné a b je kladné a různé od 1. Důkaz tohoto faktu vyžaduje větu o nabývání mezilehlých hodnot, tvrdící, že spojitá funkce, která nabývá dvou hodnot m a n, nabývá také každé hodnoty ležící mezi m a n. Funkce je spojitá, když nedělá „skoky“, tj. názorně řečeno její graf lze nakreslit bez zvednutí tužky z papíru.

Lze ukázat, že tato vlastnost platí i pro funkci f(x) = b^x. Protože f nabývá libovolně velkých kladných hodnot i libovolně malých kladných hodnot, každé číslo y > 0 leží mezi f(x₀) a f(x₁) pro vhodná x₀ a x₁. Věta o nabývání mezilehlých hodnot tedy zaručuje, že rovnice f(x) = y má řešení. Navíc tato rovnice má pouze jedno řešení, protože funkce f je monotónní.

Toto jediné řešení x nazýváme logaritmus y o základu b, log_b y. Funkce, která přiřazuje y jeho logaritmus, se nazývá logaritmická funkce nebo jednoduše logaritmus. Funkce log_b x je v podstatě charakterizována vzorcem pro součin:

$\log _{b}xy=\log _{b}x+\log _{b}y.$

Přesněji řečeno, logaritmus o libovolném základu b > 1 je jediná rostoucí funkce f z reálných čísel do reálných čísel, která splňuje f(b) = 1 a $f(xy)=f(x)+f(y).$

Po ověření potřebných vlastností logaritmu lze vyslovit následující definici: Pro pevně zvolený základ $b>0$, $b\neq 1$ definujeme logaritmickou funkci o základu $b$ jako zobrazení

$\log _{b}\colon (0,{+}\infty )\to \mathbb {R} ,\quad x\mapsto \log _{b}x.$

Tato funkce má následující základní vlastnosti:

• Definiční obor je množina kladných reálných čísel $(0,{+}\infty )$; záporná čísla ani nula nejsou logaritmovatelná.
• Obor hodnot je celá reálná osa $\mathbb {R}$; logaritmická funkce tedy nabývá všech reálných hodnot.
• Funkce je prostá (různým argumentům odpovídají různé hodnoty), a tedy invertovatelná – její inverzní funkcí je exponenciální funkce $x\mapsto b^{x}$.
• Pro $b>1$ je funkce rostoucí: větší argument dává větší logaritmus. Pro $0<b<1$ je naopak klesající.
• Funkce prochází bodem $(1,\,0)$, neboť $\log _{b}1=0$ pro libovolný základ, a bodem $(b,\,1)$, neboť $\log _{b}b=1$.
• Graf funkce se přibližuje k ose $y$ (přímce $x=0$), ale nikdy se jí nedotkne; osa $y$ je tedy asymptotou grafu.

Inverzní funkce

Graf logaritmické funkce log_b(x) (modře) vznikne reflexí grafu exponenciální funkce b^x (červeně) podle přímky x = y.

Vzorec pro logaritmus mocniny ukazuje, že pro libovolné číslo x

$\log _{b}\left(b^{x}\right)=x\log _{b}b=x.$

Čili logaritmus o základu b spočítaný z x-té mocniny b dává x. Obráceně pro dané kladné číslo y říká vzorec $b^{\log _{b}y}=y,$ že pokud nejprve vezmeme logaritmus a poté umocníme na tento výsledek, dostaneme zpět y. Oba možné způsoby kombinace logaritmu a umocňování tedy dávají původní číslo. Proto je funkce f(x) = log_b x inverzní funkcí k funkci g(x) = b^x a naopak.

Inverzní funkce jsou úzce spjaty s původními funkcemi. Jejich grafy se dají ztotožnit prohozením osy x a osy y (neboli zrcadlením podle přímky x = y), jak ukazuje obrázek: bod (t, u = b^t) na jednom grafu zrcadlově odpovídá bodu (u, t = log_bu), a naopak. V důsledku toho log_b x roste nade všechny meze, pokud x roste do nekonečna, za předpokladu, že b je větší než jedna (v tomto případě je log_b x rostoucí funkcí). Pro b < 1 pak log_b x konverguje k mínus nekonečnu.

Derivace a integrál

Graf přirozeného logaritmu (zelený) a jeho tečna v {{{1}}} (černá).

Analytické vlastnosti funkcí přecházejí na jejich inverzní funkce. Protože f(x) = b^x je spojitá a diferencovatelná funkce, je spojitý a diferencovatelný i log_b y. (Zhruba řečeno, spojitá funkce je diferencovatelná, pokud její graf nevykazuje a „zlomy“.) Dále, protože derivace exponenciální funkce f(x) je (ln b) b^x, pravidlo pro derivaci inverzní funkce říká, že derivace log_b x je dána vztahem

${\frac {d}{dx}}\log _{b}x={\frac {1}{x\ln b}}.$

To znamená, že směrnice tečny, která se dotýká grafu logaritmu o základu b v bodě (x, log_b x), je rovna 1/(x ln b). Konkrétně derivace ln x je 1/x, což implikuje, že integrál z 1/x je ln x + C. Derivace přirozeného logaritmu obecné funkce f(x) je

${\frac {d}{dx}}\ln(f(x))={\frac {f'(x)}{f(x)}}.$

Podíl na pravé straně rovnice se nazývá logaritmická derivace funkce f. Související vzorce, jako jsou integrály logaritmů pro jiné základy, lze odvodit z níže uvedené rovnice pomocí změny základu. Neurčitý integrál přirozeného logaritmu ln x jeː

$\int \ln x\,dx=x\ln x-x+C.$

Integrální vyjádření přirozeného logaritmu

Přirozený logaritmus čísla t je plocha pod grafem funkce f(x) = 1/x.

Přirozený logaritmus t se rovná integrálu z 1/x od 1 do t:

$\ln t=\int _{1}^{t}{\frac {1}{x}}\,dx.$

Jinými slovy, ln t se rovná ploše mezi osou x a grafem funkce 1/x, pro x od x = 1 do x = t, jak je znázorněno na obrázku vedle. Toto je důsledek základní věty integrálního počtu a faktu, že derivace ln x je 1/x. Vzorce pro logaritmus součinu a mocniny lze odvodit z této definice (použijme jako příklad ln tu = ln t + ln u):

$\ln tu=\int _{1}^{tu}{\frac {1}{x}}\,dx\ {\stackrel {(1)}{=}}\int _{1}^{t}{\frac {1}{x}}\,dx+\int _{t}^{tu}{\frac {1}{x}}\,dx\ {\stackrel {(2)}{=}}\ln t+\int _{1}^{u}{\frac {1}{w}}\,dw=\ln t+\ln u.$

Rovnost (1) rozděluje integrál na dvě části, zatímco rovnost (2) využívá substituci proměnné (w = x/t). Na ilustraci níže toto rozdělení odpovídá rozdělení plochy na žlutou a modrou část. Změnou měřítka modré plochy v grafu vlevo na ose y a jejím zmenšením na ose x stejným faktorem t transformujeme na stejně velkou plochu zleva ohraničenou jedničkou.

Geometrický důkaz součinového vzorce pro přirozený logaritmus.

Vzorec pro mocninu ln(t^r) = r ln(t) lze odvodit podobným způsobem, přičemž druhá rovnost používá změnu proměnné (integraci substitucí), w = x^1/r:

$\ln(t^{r})=\int _{1}^{t^{r}}{\frac {1}{x}}dx=\int _{1}^{t}{\frac {1}{w^{r}}}\left(rw^{r-1}\,dw\right)=r\int _{1}^{t}{\frac {1}{w}}\,dw=r\ln t.$

Součet převrácených hodnot přirozených čísel, $1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{n}}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}},$ se nazývá harmonická řada. Ta je úzce spojena s přirozeným logaritmem: když n směřuje k nekonečnu, rozdíl $\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\ln n$ konverguje k číslu známému jako Eulerova–Mascheroniova konstanta. Tento vztah pomáhá při analýze výkonu algoritmů, jako je například quicksort.

Transcendentnost logaritmu

Všechna reálná čísla, která nejsou algebraická čísla, se nazývají transcendentní čísla; například π a Eulerovo číslo jsou čísla tohoto typu, zatímco ${\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}$ není. Téměř všechna reálná čísla jsou transcendentní. Logaritmus je příkladem transcendentní funkce. Gelfondova–Schneiderova věta tvrdí, že logaritmy obecně nabývají transcendentních hodnot, tedy hodnot „obtížných“.

Výpočet

Obecně lze logaritmy vypočítat pomocí mocninné řady nebo aritmeticko-geometrického průměru, nebo je lze odečíst z předem vypočítané tabulky logaritmů, která poskytuje definovanou přesnost. Newtonovu metodu, vyvinutou pro iterační řešení rovnic přibližným způsobem, lze také použít pro výpočet logaritmu, protože jeho inverzní funkce, exponenciální funkce, se tímto způsobem dá efektivně vypočítat. Dále lze použít metody jako CORDIC, využívající jen operace sčítání a bitový posun. Jiný algoritmus počítá binární logaritmus lb x pomocí rekurze, založené na opakovaných mocninách 2 z x, na základě následující rovnice:

$\log _{2}(x^{2})=2\log _{2}x.\,$

Moderní vědecké kalkulačky a počítače počítají logaritmy zpravidla pomocí algoritmu CORDIC, který je snadno implementovatelný přímo v hardware, nebo pomocí polynomiálních či racionálních aproximací optimalizovaných pro potřebný rozsah argumentu.

Mocninné řady

Taylorova řada

Taylorova řada ln(z) se středem v z = 1. Animace ukazuje prvních 10 aproximací plus devadesátou devátou a stou. Aproximace nekonvergují za vzdálenost 1 od středu řady.

Pro libovolné reálné číslo z splňující 0 < z < 2 platí následující vzorec:

$\ln z=(z-1)-{\frac {(z-1)^{2}}{2}}+{\frac {(z-1)^{3}}{3}}-{\frac {(z-1)^{4}}{4}}+\cdots$

To znamená, že ln z lze stále přesněji aproximovat pomocí výrazů

${\begin{array}{lllll}(z-1)&&\\(z-1)&-&{\frac {(z-1)^{2}}{2}}&\\(z-1)&-&{\frac {(z-1)^{2}}{2}}&+&{\frac {(z-1)^{3}}{3}}\\\vdots &\end{array}}$

Například pro z = 1,5 se třetí aproximace rovná 0,4167, což je asi o 0,011 více než ln 1,5 = 0,405465. Tato řada poskytuje aproximaci ln z s libovolnou přesností, pokud je počet členů dostatečný; ln z tedy je limitou této řady. Ta je Taylorovou řadou přirozeného logaritmu pro z = 1; Taylorova řada ln z poskytuje užitečnou aproximaci pro ln(1+z), pokud je z malé, |z| < 1, tedy

$\ln(1+z)=z-{\frac {z^{2}}{2}}+{\frac {z^{3}}{3}}\cdots \approx z.$

Efektivnější řady

Další řada pro aproximaci a řešení logaritmických výpočtů je založena na inverzní hyperbolické tangentě:

$\ln z=2\cdot \operatorname {artanh} \,{\frac {z-1}{z+1}}=2\left({\frac {z-1}{z+1}}+{\frac {1}{3}}{\left({\frac {z-1}{z+1}}\right)}^{3}+{\frac {1}{5}}{\left({\frac {z-1}{z+1}}\right)}^{5}+\cdots \right),$

Tento vzorec platí pro jakoukoli reálnou hodnotu z > 0. Pomocí sumačního zápisu jej lze také zapsat:

$\ln z=2\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2n+1}}\left({\frac {z-1}{z+1}}\right)^{2n+1}.$

Taková řada může být odvozena z Taylorovy řady. Konverguje rychleji než Taylorova řada, zejména pokud je z blízké jedné. Například první tři členy druhé řady aproximují ln(1,5) s chybou přibližně 3×10⁻⁶. Rychlou konvergenci pro z blízko 1 lze využít následujícím způsobem: je-li známa aproximace s nízkou přesností y ≈ ln z, pak položením $A={\frac {z}{\exp(y)}}$

bude logaritmus z roven

$\ln z=y+\ln A.\,$

Čím lepší je počáteční aproximace y, tím blíže bude A k 1, takže jeho logaritmus lze vypočítat efektivněji. A lze vypočítat pomocí exponenciální řady, která konverguje rychle, pokud y není příliš velké. Pro výpočet logaritmu větších hodnot z lze počítanou hodnotu zmenšit zápisem z = a · 10^b, takže ln z = ln a + b · ln 10.

Úzce související metodu lze použít pro výpočet logaritmu celých čísel. Z výše uvedené řady vyplývá:

$\ln(n+1)=\ln n+2\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{2k+1}}\left({\frac {1}{2n+1}}\right)^{2k+1}.$

Pokud je znám logaritmus velkého celého čísla n, pak tato řada poskytuje rychle konvergující řadu pro log(n+1).

Aritmeticko-geometrický průměr

Aritmeticko-geometrický průměr poskytuje vysoce přesné aproximace přirozeného logaritmu. ln x je aproximován s přesností 2^−p následujícím vzorcem, který nalezl Carl Friedrich Gauss:

$\ln x\approx {\frac {\pi }{2M(1,2^{2-m}/x)}}-m\ln 2.$

V této rovnici M(x,y) představuje aritmeticko-geometrický průměr x a y. Získá se opakovaným výpočtem (x+y)/2 (aritmetický průměr) a odmocniny součinu xy (geometrický průměr), a poté se tyto výsledky použijí jako další x a y. Tato čísla rychle konvergují ke společné limitě, která je hodnotou M(x,y). Hodnota m je zvolena tak, že

$x\,2^{m}>2^{p/2}.\,$

aby byla zajištěna požadovaná přesnost. Větší m způsobí, že výpočet M(x,y) vyžaduje více kroků (počáteční hodnoty x a y jsou vzdálenější, proto je k dosažení konvergence potřeba více kroků), ale poskytuje vyšší přesnost. Konstanty π a ln 2 lze vypočítat pomocí rychle konvergentních řad.

Aplikace

Schránka hlavonožce loděnky hlubinné ukazuje logaritmickou spirálu.

Logaritmy mají mnoho aplikací v matematice i mimo ni. Některá z těchto použití souvisejí s pojmem škálové invariance. Například každá komůrka schránky loděnky je přibližnou kopií následující, v měřítku s konstantním faktorem, což vede ke vzniku logaritmické spirály.

Benfordův zákon, který ukazuje četnost distribuce číslic ve zdrojích dat, lze také vysvětlit škálovou invariancí. Logaritmy jsou také spojeny se soběpodobností. Například se objevují v analýze algoritmů, které problém rekurzivně rozdělují na menší podproblémy, jejichž řešení pak slučují. Rozměry soběpodobných geometrických tvarů, tedy obrazců, jejichž části se podobají celku, jsou také založeny na logaritmech. Logaritmické stupnice jsou vhodné pro kvantifikaci relativní změny hodnoty na rozdíl od absolutního rozdílu hodnot. Navíc protože logaritmická funkce log x roste velmi pomalu pro velké hodnoty x, používají se logaritmické stupnice ke kompresi rozsáhlých vědeckých dat. Také se nacházejí v mnoha vědeckých vzorcích, jako je Ciolkovského raketová rovnice, Fenskeho rovnice nebo Nernstova rovnice.

Logaritmické stupnice

Tento logaritmický graf ukazuje hodnotu zlaté marky v papírových markách během hyperinflace v době Výmarské republiky.

Vědecké veličiny se často vyjadřují jako logaritmy jiných veličin pomocí logaritmické stupnice. Například decibel je jednotka měření spojená s úrovní logaritmické stupnice. Je založen na poměru dekadického logaritmu — desetinásobku dekadického logaritmu poměru výkonů nebo dvacetinásobku dekadického logaritmu poměru napětí. Používá se ke kvantifikaci útlumu úrovní napětí při přenosu elektrických signálů, k popisu hladin akustického výkonu v akustice a absorbance světla v oblasti spektrometrie a optiky. Poměr signálu a šumu, který popisuje množství nežádoucího šumu vzhledem k užitečnému signálu, se také měří v decibelech. Podobně se poměr signálu a šumu špičkové hodnoty běžně používá k hodnocení kvality zvuku a metod komprese obrazu založených na logaritmech.

Síla zemětřesení se měří výpočtem zahrnujícím desítkový logaritmus energie uvolněné zemětřesením; to se provádí pomocí Richterovy stupnice nebo momentové škály. Například zemětřesení o magnitudě 5,0 uvolní 32krát (10^1,5) více energie než zemětřesení o magnitudě 4,0 a zemětřesení o magnitudě 6,0 uvolní 1 000krát více energie (10³) než zemětřesení o magnitudě 4,0. Další logaritmickou stupnicí je zdánlivá hvězdná velikost, která měří jasnost nebeského tělesa z poměru jeho jasu k jasu referenční hvězdy. Dalším příkladem je pH v chemii: je definováno jako záporný desítkový logaritmus koncentrace disociovaných iontů hydronia (H₃O⁺) ve vodném roztoku. Aktivita iontů hydronia v neutrální vodě je 10⁻⁷  mol·l⁻¹, tedy pH 7. Ocet má typicky pH přibližně 3. Rozdíl 4 odpovídá poměru 10⁴ v aktivitě, to znamená, že aktivita iontů hydronia v octu je asi 10⁻³ mol·l⁻¹.

Polologaritmické grafy, také nazývané speciální logaritmické papíry, využívají koncept logaritmické stupnice pro vizualizaci: jedna osa, obvykle svislá (osa y), je v logaritmickém měřítku. Například graf vpravo stlačuje prudký nárůst z 1 milionu na 1 bilion do stejného prostoru (na svislé ose) jako nárůst z 1 na 1 milion. Na těchto grafech se exponenciální funkce tvaru f(x) = a · b^x jeví jako přímka se směrnicí rovnou logaritmu b. Logaritmické grafy, jejichž základem je takzvaný dvojlogaritmický papír, mají obě osy v logaritmickém měřítku, díky čemuž se funkce tvaru f(x) = a · x^k zobrazí jako přímka se směrnicí rovnou exponentu k. To se uplatňuje při vizualizaci a analýze mocninných zákonů.

Psychologie

Logaritmy vystupují v různých zákonech popisujících lidské vnímání. Hickův zákon navrhuje logaritmický vztah mezi časem, který jednotlivci potřebují k výběru jedné z alternativ, a počtem možností, mezi nimiž se rozhodují. Fittsův zákon naopak předpovídá, že čas potřebný k rychlému přesunu z počáteční polohy do cílové zóny je logaritmickou funkcí vzdálenosti a plochy cíle. V psychofyzice Weberův–Fechnerův zákon navrhuje logaritmický vztah mezi podnětem a vjemem, například mezi skutečnou a vnímanou hmotností předmětu, který osoba nese. Tento zákon je však méně přesný než novější modely, jako je Stevensův mocninový zákon.

Psychologické studie dospěly k závěru, že jedinci s nízkou úrovní matematického vzdělání mají tendenci odhadovat hodnoty a výsledky logaritmicky, to znamená, že umisťují číslo na pomyslnou čáru podle jeho logaritmu, takže 10 je umístěno stejně blízko 100 jako 100 je blízko 1 000. S rostoucím vzděláním se tento odhad v některých situacích stává lineárnějším (umístění 1 000 desetkrát dále), zatímco logaritmy se používají, když je čísla, která mají být umístěna, obtížné zakreslit lineárně.

Teorie pravděpodobnosti a statistika

Tři funkce hustoty pravděpodobnosti (PDF) náhodných veličin s logaritmicko-normálním rozdělením. Parametr µ, který je u všech tří zobrazených PDF nulový, je střední hodnotou logaritmů náhodné veličiny, nikoli střední hodnotou samotné veličiny.

Logaritmy se objevují i v teorii pravděpodobnosti: zákon velkých čísel uvádí, že pro spravedlivou minci, když počet hodů mincí směřuje k nekonečnu, pozorovaný podíl orlů se blíží polovině. Kolísání tohoto podílu kolem poloviny je popsáno zákonem iterovaného logaritmu.

Distribuce prvních číslic populace 237 zemí světa. Černé tečky ukazují distribuci předpovězenou Benfordovým zákonem.

Logaritmy se také vyskytují v logaritmicko-normálním rozdělení: když logaritmus náhodné veličiny má normální rozdělení, říká se, že veličina má logaritmicko-normální rozdělení. Logaritmicko-normální rozdělení se nacházejí v mnoha oborech, kdykoli je veličina tvořena součinem mnoha kladných a nezávislých náhodných veličin, například při studiu turbulencí.

Logaritmy se používají pro odhad maximální věrohodnosti parametrických statistických modelů: pro daný model funkce věrohodnosti závisí na alespoň jednom parametru, který musí být odhadnut. Maximální hodnota funkce věrohodnosti nastává pro stejnou hodnotu parametru, pro kterou je logaritmus věrohodností (tzv. log-likelihood) maximální, protože logaritmus je rostoucí funkce. Logaritmus věrohodnost je často snazší maximalizovat než věrohodnost samotnou, protože ta obvykle vzniká násobením věrohodností nezávislých náhodných veličin, což logaritmování převede na součet.

Benfordův zákon popisuje výskyt cifer v mnoha datových souborech, jako jsou výšky budov. Podle tohoto zákona je pravděpodobnost, že první platná cifra v dekadickém zápisu čísla bude d (od 1 do 9), rovna log₁₀(d + 1) − log₁₀ d, nezávisle na jednotce měření. Takže asi 30 % záznamů začíná cifrou 1, 18 % 2 a tak dále. Auditoři zkoumají odchylky od Benfordova zákona, aby odhalili účetní podvody.

Výpočetní složitost

Analýza algoritmů je odvětví matematické informatiky, které studuje výkonnost algoritmů (počítačových programů řešících daný problém). Logaritmy jsou cenné pro popis chování algoritmů, které rozdělují problém na menší části a spojují řešení dílčích problémů.

Například pro nalezení čísla v seřazeném seznamu binární vyhledávání hledá prostřední prvek a pracuje s polovinou před nebo za tímto prostředním prvkem, pokud číslo ještě nebylo nalezeno. Tento algoritmus vyžaduje v průměru log₂ N porovnání, kde N je velikost seznamu. Podobně řadicí algoritmus slučováním třídí seznam rozdělením na dvě poloviny, které seřadí, a poté sloučí výsledky. Tyto algoritmy obvykle vyžadují čas přibližně úměrný N · log N. Základ tohoto logaritmu není specifikován, protože výsledek se změní pouze o konstantní faktor při použití jiného základu. Konstantní faktor se obvykle při analýze algoritmů za standardního modelu jednotkových nákladů zanedbává.

Říká se, že funkce f(x) roste logaritmicky, pokud je f(x) (přesně nebo přibližně) úměrná logaritmu x (nicméně biologické popisy růstu organismů používají tento termín pro exponenciální funkci). Například jakékoli přirozené číslo N lze vyjádřit v dvojkové soustavě pomocí ne více než log₂(N) + 1 bitů. Jinými slovy, množství počítačové paměti potřebné k uložení N roste s N logaritmicky.

Entropie a chaos

Koule na kulečníkovém stole. Dvě dráhy vycházející ze středu pod úhlem lišícím se o jeden stupeň, se vlivem odrazů od okrajů chaoticky rozbíhají.

Entropie je mírou neuspořádanosti nějakého systému. Ve statistické termodynamice je entropie S fyzikálního systému definována jako:

$S=-k\sum _{i}p_{i}\ln p_{i}.\,$

Součet probíhá přes všechny možné stavy i uvažovaného systému, jako jsou například polohy částic plynu v nádobě. Dále p_i je pravděpodobnost, že bude dosaženo stavu i, a k je Boltzmannova konstanta. Podobně entropie informace měří množství informace: pokud může příjemce zprávy očekávat kteroukoli z možných zpráv se stejnou pravděpodobností, pak je informace přenášená jakoukoli zprávou kvantifikována jako log₂ N bitů.

Ljapunovův exponent používá logaritmus k určení míry chaotičnosti dynamického systému. Například pro částice pohybující se po oválném biliárovém stole vedou i malé změny počátečních podmínek k velmi odlišným drahám částice. Takové systémy jsou deterministicky chaotické, protože malé chyby v měření počátečního stavu předvídatelně vedou k velmi odlišným konečným stavům. Alespoň jeden Ljapunovův exponent deterministicky chaotického systému je kladný.

Úzce příbuzným pojmem je Shannonova entropie z teorie informace, která měří průměrné množství informace obsažené v jedné zprávě ze zdroje. Je-li zpráva tvořena symboly, přičemž symbol i nastává s pravděpodobností p_i, je Shannonova entropie definována jako

$H=-\sum _{i}p_{i}\log _{2}p_{i},$

přičemž výsledek je v bitech. Například pro spravedlivou minci, kde jsou oba výsledky stejně pravděpodobné (p₁ = p₂ = 1/2), vychází H = 1 bit – jeden hod mincí přenáší právě jeden bit informace. Shannonova entropie má stejný matematický tvar jako entropie termodynamická; tento hluboký vztah mezi teorií informace a statistickou fyzikou byl poprvé systematicky prozkoumán Claudem Shannonem a Johnem von Neumannem.

Fraktály

Trojúhelník Sierpińského (vpravo) je vytvořen postupným nahrazováním rovnostranných trojúhelníků třemi menšími trojúhelníky.

Logaritmy se používají při definování rozměrů fraktálů. Fraktály jsou geometrické objekty, které jsou soběpodobné: malé části opakují, alespoň přibližně, celkovou globální strukturu. Sierpińského trojúhelník (obrázek) lze sestrojit ze tří kopií sebe sama, přičemž každý kus má poloviční rozměr oproti původnímu. To způsobuje, že Hausdorffova míra této struktury je log 3 / log 2 ≈ 1,58. Další pojetí dimenze založené na logaritmech se získá počítáním počtu „krabic“ (Minkowského–Bouligandova dimenze) potřebných k pokrytí daného fraktálu.

Hudba

Logaritmy souvisejí s tóny a hudebními intervaly. Lidské ucho vnímá výšku tónu logaritmicky, proto je přirozené měřit intervaly logaritmicky. V rovnoměrně temperovaném ladění závisí poměr frekvencí výhradně na intervalu mezi dvěma tóny, nikoli na konkrétní frekvenci (neboli výšce) jednotlivých tónů. Například tón A má frekvenci 440 Hz a B má frekvenci 466 Hz. Interval mezi A a B je půltón, stejně jako interval mezi B a H (frekvence 493 Hz).

Stejně tak se shoduje poměr frekvencí:

${\frac {466}{440}}\approx {\frac {493}{466}}\approx 1.059\approx {\sqrt[{12}]{2}}.$

Proto lze logaritmy použít k popisu intervalů: interval se měří v půltónech pomocí logaritmu o bázi 2^1/12 z poměru frekvencí, zatímco logaritmus o bázi 2^1/1200 z poměru frekvencí vyjadřuje interval v centech, setinách půltónu. Centy se používají pro jemný popis, například v nerovnoměrných laděních.

Interval (oba tóny jsou slyšeny současně)	Tón 72	Půltón	Čistá velká tercie	Velká tercie	Tritón	Oktáva
Poměr frekvencí r	$2^{\frac {1}{72}}\approx 1,0097$	$2^{\frac {1}{12}}\approx 1,0595$	${\tfrac {5}{4}}=1,25$	${\begin{aligned}2^{\frac {4}{12}}&={\sqrt[{3}]{2}}\\&\approx 1,2599\end{aligned}}$	${\begin{aligned}2^{\frac {6}{12}}&={\sqrt {2}}\\&\approx 1,4142\end{aligned}}$	$2^{\frac {12}{12}}=2$
Odpovídající počet půltónů $\log _{\sqrt[{12}]{2}}(r)=12\log _{2}(r)$	${\tfrac {1}{6}}\,$	$1\,$	$\approx 3,8631\,$	$4\,$	$6\,$	$12\,$
Odpovídající počet centů $\log _{\sqrt[{1200}]{2}}(r)=1200\log _{2}(r)$	$16{\tfrac {2}{3}}\,$	$100\,$	$\approx 386,31\,$	$400\,$	$600\,$	$1200\,$

Teorie čísel

Přirozené logaritmy jsou úzce propojeny s funkcí počtu prvočísel (2, 3, 5, 7, 11, …), což je důležité téma v teorii čísel. Pro libovolné celé číslo x je množství prvočísel menších nebo rovných x označováno jako prvočíselná funkce π(x). Věta o prvočíslech tvrdí, že π(x) je přibližně dána vztahem:

${\frac {x}{\ln x}},$

ve smyslu, že poměr mezi π(x) a tímto zlomkem se blíží 1, když x směřuje k nekonečnu. Pravděpodobnost, že náhodně zvolené číslo mezi 1 a x je prvočíslo, je v důsledku toto nepřímo úměrná počtu desetinných číslic čísla x. Mnohem lepší odhad π(x) je dán funkcí logaritmického integrálu Li(x), definovanou jako:

$\mathrm {Li} (x)=\int _{2}^{x}{\frac {1}{\ln t}}\,dt.$

Platí totiž, že rozdíl

$\pi (x)-\mathrm {Li} (x)$

roste podstatně pomaleji než rozdíl vůči $x/\ln x$. Kdyby platila Riemannova hypotéza, plynulo by z ní, že tento rozdíl splňuje odhad

$|\pi (x)-\mathrm {Li} (x)|\leq {\frac {1}{8\pi }}{\sqrt {x}}\,\ln x,$

tedy že Li(x) se od skutečného počtu prvočísel odchyluje nejvýše řádově o ${\sqrt {x}}$. Prokázání nebo vyvrácení tohoto tvrzení by mělo zásadní důsledky pro teorii čísel a pro kryptografii. Erdősův–Kacův teorém, popisující počet různých prvočíselných dělitelů, také zahrnuje přirozené logaritmy.

Logaritmus faktoriálu n, n! = 1 · 2 · … · n, je dán vztahem:

$\ln(n!)=\ln 1+\ln 2+\cdots +\ln n.\,$

Toto číslo může být použito k odvození Stirlingova vzorce, aproximace čísla n! pro velké hodnoty n.

Zobecnění

Komplexní logaritmy

Polární tvar z = x + iy. Úhly φ i φ′ jsou argumenty z.

Komplexní čísla a, která řeší rovnici

$e^{a}=z$

se nazývají komplexní logaritmy. Zde je z komplexní číslo. Komplexní číslo se obvykle zapisuje jako z = x + iy, kde x a y jsou reálná čísla a i je imaginární jednotka. Takové číslo lze znázornit jako bod v komplexní rovině, jak je ukázáno vpravo. Polární tvar kóduje nenulové komplexní číslo z pomocí jeho absolutní hodnoty, což je vzdálenost r od počátku, a úhlu mezi osou x a přímkou procházející počátkem a bodem z. Tento úhel se nazývá argument čísla z. Absolutní hodnota r čísla z je:$r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.\,$

Argument není číslem z určen jednoznačně: úhly φ stejně jako φ' = φ + 2π jsou argumenty čísla z, protože přičtení 2π radiánů neboli 360 stupňů k úhlu φ odpovídá „obtočení“ kolem počátku proti směru hodinových ručiček o jednu otáčku. Výsledné komplexní číslo je opět z, jak je znázorněno na obrázku vpravo. Přesto existuje právě jeden argument φ splňující podmínku: −π < φ a φ ≤ π. Nazývá se hlavní hodnota argumentu, značí se Arg(z) s velkým A (alternativní normalizace je 0 ≤ Arg(z) < 2π).

Hlavní větev komplexního logaritmu, Log(z). Černý bod v z = 1 odpovídá nulové absolutní hodnotě a jasnější barvy odpovídají větším absolutním hodnotám. Odstín barvy kóduje argument log(z).

Pomocí goniometrických funkcí sinu a kosinu, respektive pomocí komplexní exponenciály, platí pro r a φ následující identity:

${\begin{array}{lll}z&=&r\left(\cos \varphi +i\sin \varphi \right)\\&=&re^{i\varphi }.\end{array}}\,$

To znamená, že z se dá vyjádřit také jako a-tá mocnina čísla e, kde

$a=\ln(r)+i(\varphi +2n\pi ),\,$

φ je hlavní hodnota argumentu Arg(z) a n je libovolné celé číslo. Jakékoli takové a se nazývá komplexní logaritmus čísla z. Existuje jich nekonečně mnoho, na rozdíl od logaritmů reálných, které jsou jednoznačné. Pokud n = 0, nazývá se a hlavní hodnotou logaritmu a značí se Log(z). Hlavní hodnota argumentu libovolného kladného reálného čísla x je 0; proto Log(x) je reálné číslo a rovná se přirozenému logaritmu. Vzorce pro logaritmus součinu a mocniny přitom pro hlavní hodnotu komplexního logaritmu obecně neplatí. Taktéž nelze naivně „zlogaritmovat" obě strany rovnice v komplexním oboru.

Ilustrace vpravo znázorňuje Log(z). Nespojitost, tj. skok v odstínu na záporné části osy x, je způsobena skokem hlavní hodnoty argumentu v tomto místě. Toto místo se nazývá větvení. Toto chování lze obejít pouze rozšířením rozsahu úhlu φ. Pak se argument čísla z a následně i jeho logaritmus stanou vícehodnotovými funkcemi.

Inverze dalších exponenciálních funkcí

Umocňování se vyskytuje v mnoha oblastech matematiky a jeho inverzní funkce je často označována jako logaritmus. Například logaritmus matice je inverzní funkcí k maticové exponenciále. Dalším příkladem je p-adická logaritmická funkce, jejíž inverzí je p-adická exponenciální funkce. Obě jsou definovány pomocí Taylorovy řady pro reálný případ. V kontextu diferenciální geometrie exponenciální zobrazení zobrazuje tečný prostor v bodě variety do okolí tohoto bodu. Jeho inverze se také nazývá logaritmické zobrazení.

V kontextu konečných grup je umocňování dáno opakovaným násobením prvku b grupy se sebou samým. Diskrétní logaritmus je celé číslo n, které řeší rovnici bⁿ = x, kde x je prvek grupy. Umocňování lze provést efektivně, ale v některých případech je výpočet diskrétního logaritmu velmi obtížný. Tato asymetrie má důležité uplatnění v asymetrické kryptografii, jako například v Diffieho–Hellmanově výměně klíčů, umožňující výměnu kryptografických klíčů přes nezabezpečené komunikační kanály. Zechův logaritmus souvisí s diskrétním logaritmem v multiplikativní grupě nenulových prvků konečného tělesa.

Další inverzní funkce logaritmického typu zahrnují dvojitý logaritmus ln(ln(x)), superlogaritmus (jehož variací je tzv. iterovaný logaritmus v informatice), Lambertova funkce W a logit. Jsou to v daném pořadí inverzní funkce k dvojité exponenciální funkci, k tetraci, k f(w) = we^w a k logistické funkci.

Související pojmy

Z pohledu algebry vyjadřuje identita log cd = log c + log d grupový izomorfismus mezi kladnými reálnými čísly s operací násobení a reálnými čísly s operací sčítání. Logaritmické funkce jsou jedinými spojitými izomorfismy mezi těmito grupami. Tímto izomorfismem odpovídá Haarova míra (Lebesgueova míra) dx na reálných číslech Haarově míře dx/x na kladných reálných číslech. V komplexní analýze a v algebraické geometrii se diferenciální formy tvaru df/f nazývají formy s logaritmickými póly.

Polylogaritmus je funkce definovaná vztahem:

$\operatorname {Li} _{s}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }{z^{k} \over k^{s}}.$

Souvisí s přirozenými logaritmy vztahem Li₁(z) = −ln(1 − z). Navíc platí, že Li_s(1) se rovná Riemannově funkci zeta ζ(s).

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Logaritmo na portugalské Wikipedii.

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu logaritmus na Wikimedia Commons
• Slovníkové heslo logaritmus ve Wikislovníku
• WEISSTEIN, Eric W. Logarithm. mathworld.wolfram.com [online]. Dostupné online. (anglicky) 
• Logaritmické tabulky čísel od 1 000 000 do 9 999 999

Autoritní data	PSH: 7430 BNE: XX527539 BNF: cb11941516p (data) GND: 4168047-9 LCCN: sh85078091 NDL: 00572566 NLI: 987007533701405171

Portály: Matematika