Extrém funkce

Extrém funkce je největší (maximum) či nejmenší (minimum) hodnota, kterou reálná funkce nabývá. Přitom rozlišujeme lokální a globální extrém; lokální je vztažen k určité omezené části definičního oboru funkce, globální se vztahuje k celému definičnímu oboru. Lokální extrém nastává v takovém bodě definičního oboru funkce, v němž funkce nabývá největší resp. nejmenší hodnoty na jeho jistém okolí. Největší resp. nejmenší lokální extrém ze všech se nazývá globální extrém.

Funkce může mít lokálních extrémů více a globální extrém může dosahovat na více místech. Například sinusoida $f(x)=\sin x$ má v oboru reálných čísel nekonečně mnoho maxim i minim, lokálních a zároveň globálních, jelikož jsou si všechna rovna. A naopak funkce nemusí mít extrémy žádné. Například kladná větev hyperboly $f(x)=1/x$ na množině kladných reálných čísel nemá žádný extrém, protože nikde nedosahuje svého suprema, k němuž se blíží v nule, ani infima, k němuž konverguje v plus nekonečnu.

Nalezení extrému funkce je důležité při vyšetřování průběhu funkce. Zvláštním typem úloh je hledání extrému při splnění dalších omezujících podmínek, které musejí splňovat nezávisle proměnné funkce, tj. vázaného extrému.

Extrém funkce jedné proměnné

Funkce $f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ má v bodě $x_{0}$ :

lokální maximum, pokud existuje okolí $O(x_{0})$ tak, že pro každé $x\in O(x_{0})$ je $f(x)\leq f(x_{0})$
lokální minimum, pokud existuje okolí $O(x_{0})$ tak, že pro každé $x\in O(x_{0})$ je $f(x)\geq f(x_{0})$
ostré lokální maximum (extrém), pokud existuje okolí $O(x_{0})$ tak, že pro každé $x\in (O(x_{0})-x_{0})$ je $f(x)<f(x_{0})$
ostré lokální minimum (extrém), pokud existuje okolí $O(x_{0})$ tak, že pro každé $x\in (O(x_{0})-x_{0})$ je $f(x)>f(x_{0})$

Pokud je v bodě lokální extrém a první derivace v jistém okolí tohoto bodu existuje, pak je v tomto bodě nulová a v jistém levém resp. pravém okolí tohoto bodu je kladná resp. záporná (ostré lokální maximum) nebo naopak (ostré lokální minimum). Každá funkce může nabývat své největší nebo nejmenší hodnoty pouze ve stacionárních bodech, což je bod, ve kterém je první derivace funkce nulová.

Příklady nalezení extrému funkce

Příklad 1

Funkce y = x² má první derivaci v x=0 nulovou, což znamená, že je tento bod stacionární. Druhou souřadnici získáme dosazením do původní rovnice. Nyní tedy hledáme první nenulovou derivaci. Zjistíme, že druhá (sudá) derivace této funkce je nenulová a je větší než nula. Bod [0, 0] je tedy lokální minimum. Protože funkce nemá žádné další extrémy, je tento bod i globálním minimem (nejmenší z lokální minim). Funkce nemá žádné globální maximum.

Příklad 2

Funkce y = x³ má první derivaci v bodě v počátku nulovou, což znamená, že je tento bod opět stacionární. První nenulová derivace je třetí, což je však liché číslo, takže nezáleží na tom, jestli je větší či menší než nula, a tento bod není lokálním extrémem, je to inflexní bod.

Příklad 3

Minimum funkce y = |x| nelze najít pomocí derivací, protože derivace v bodě [0, 0] neexistují.

Příklad 4

Funkce cos(x) má nekonečně mnoho ostrých lokálních maxim v 2kπ a nekonečně mnoho ostrých lokálních minim v (2k+1)π

Extrém funkce více proměnných

Funkce $f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ má v bodě $x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}$ :

lokální maximum, pokud existuje okolí $O(x_{0})$ tak, že pro každé $x\in O(x_{0})$ je $f(x)\leq f(x_{0})$
lokální minimum, pokud existuje okolí $O(x_{0})$ tak, že pro každé $x\in O(x_{0})$ je $f(x)\geq f(x_{0})$
ostré lokální maximum (extrém), pokud existuje okolí $O(x_{0})$ tak, že pro každé $x\in (O(x_{0})-x_{0})$ je $f(x)<f(x_{0})$
ostré lokální minimum (extrém), pokud existuje okolí $O(x_{0})$ tak, že pro každé $x\in (O(x_{0})-x_{0})$ je $f(x)>f(x_{0})$

Bod $x_{0}$ je stacionárním bodem funkce, právě když existují všechny parciální derivace v tomto bodě a jsou nulové.

Pokud je determinant Hessovy matice (matice druhých parciálních derivací) funkce v bodě:

pozitivně definitní, pak je v bodě ostré lokální minimum.
negativně definitní, pak je v bodě ostré lokální maximum.
indefinitní, pak v bodě extrém nenastává.

Odkazy

Literatura

Průběh funkce: Extrémy. DOŠLÁ, Zuzana a Jaromír KUBEN. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné. 2. vydání. Brno: Přírodovědecká fakulta Masarykovy univerzity, 2012, s. 113-152. ISBN 978-80-210-5814-9.
Lokální a absolutní extrémy. DOŠLÁ, Zuzana a Ondřej DOŠLÝ. Diferenciální počet funkcí více proměnných. 3. vydání. Brno: Masarykova univerzita, 2010, s. 64-80. ISBN 978-80-210-4159-2.
BARTSCH, Hans-Jochen. Matematické vzorce. 4. vyd. Praha: Academia, 1994. 832 s. ISBN 80-200-1448-9.

Externí odkazy

Obrázky, zvuky či videa k tématu extrém funkce na Wikimedia Commons
Příklady na určování extrémů funkcí jedné proměnné
Vyšetřování průběhu funkce jedné proměnné