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  ぽぽ

  5 out of 5 stars

  満点

  Reviewed in Japan on September 3, 2024

  Format: Paperback

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  とても良いわかりやすくて勉強になりました。

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  Mu

  4 out of 5 stars

  ラマヌジャンの衝撃？

  Reviewed in Japan on October 6, 2015

  Format: Paperback

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  今まで、著者がいろいろなところに書いていたものを集大成したという感じです。表題から、頭をガンと殴られたような衝撃を感じるかという期待があったのですが、残念ながら、そこまでの衝撃はありませんでした。最後の「ゼータを書こう」は、もうおまじないの類ですね。紙数が余っても、このようなものは必要なかったのではないでしょうか。

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  カーマイン

  3 out of 5 stars

  数学の泉の枯渇

  Reviewed in Japan on February 22, 2018

  Format: Paperback

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  　2015年の本。著者は東京工業大学教授（数論など）。インドの数学者ラマヌジャン（1887-1920）の業績をたどる本。

  　曰く・・・

  　ラマヌジャンの研究がフェルマー予想を解決に導いた。フェルマー予想の証明で重要なパーツとなった谷山予想もラマヌジャンの発見に基づく。

  　古代インドには原子論があった。紀元前の古代インドでは、カナーダという哲学者が原子論を唱えた。カナーダはヒンドゥー教の聖人でもある。物体は分割不可能な原子（Anu）からなるとし、２原子分子や３原子分子などにも言及した。

  　数学の場合は発見が第一、論文は二の次。音楽も発見が第一、楽譜は二の次。しかし、専門家は、論文や楽譜を書けない「素人」を仲間はずれにする。ラマヌジャンをケンブリッジ大学に招待してくれたハーディも、ラマヌジャンが証明という数学の書き方を知らないことに違和感を覚えている。

  　結果をどんどん公表するという態度が科学の大切なところ。誰も真相をわかっていないものを相手にしているのだから、少しずつでも、手がかりになるものを発表していくという方法しかない。一方、数学研究では他人の話を聞いて、こっそりとそのアイディアと方向で研究してまとめた論文を投稿し、出版するまで黙っている、というのが現代数学では普通になっている。

  　現代数学はビジョンを語ることに欠けている。現代数学は解ける問題を解いてはいるが、未来への問題や予想がどんどん枯れている。

  　などなど。

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  Tarosa

  5 out of 5 stars

  頭をガンと殴られたような衝撃を受けました。

  Reviewed in Japan on November 8, 2015

  Format: Paperback

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  ここでタイトル買いしました。

  Wikipediaでも、「s が正の奇数のときの ζ(s) を表す簡潔な表現は得られていない。」と書いてありますが

  Riemann Zeta Functionを参照すると

  http://mathworld.wolfram.com/RiemannZetaFunction.html

  ラマヌジャンの表示式mod(x,4)=3「n≡3(mod 4)」この式からmod(x,4)=1「n≡1(mod 4)」

  十進BASICプログラムで求められる。

  ラマヌジャンの保型形式

  zeta(x)

  FOR N=1 TO 無限

  LET S=S+1/N^x/(EXP(2*PI*N)-1)

  LET S1=S1+1/N^x/(EXP(2*PI*N)+1)

  NEXT N

  ラマヌジャンは、収束が特に速い。ものがお好きな様です。PIの公式も収束が特に速い。

  プログラムが完成した時、頭をガンと殴られたような衝撃を受けました。

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  susumukuni

  5 out of 5 stars

  ゼータ関数論の大家が「ラマヌジャンのζの衝撃と夢」を語る魅力的な書

  Reviewed in Japan on September 20, 2015

  Format: Paperback

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  ゼータ関数論や絶対数学の大家である黒川先生が、ラマヌジャンによる新種のゼータ関数発見の素晴らしさとその後の数学研究への衝撃（インパクト）を解説される、非常に面白く素敵な書である。

  本書ではラマヌジャンの人となりには(ハーディとの関わりを除いて)殆ど触れず、ラマヌジャンの数学（特に数論）の業績が語られている。本書を一読して特に印象に残った事を述べてみたい。

  先ず、ラマヌジャンの特筆すべき業績として、保型形式のゼータ関数で「高次（2次以上）のオイラー積を持つものが存在するという発見」、及び「ゼータの積構造の発見」が挙げられることは、著者が『数論II』の保型形式の章で解説されているので、数学愛好家には良く知られた事実であるかもしれない。ラマヌジャンのΔ関数のフーリエ展開から導かれるディリクレ級数L(s, Δ)が2次のオイラー積を持ち、そのオイラー因子に現れる係数τ(p)の絶対値の評価と偏角の分布から「ラマヌジャン予想」と「佐藤-テイト予想」が生まれたこと、また「ラマヌジャン予想」が「リーマン予想」の類似に対応していること、などは良く知られている。本書ではラマヌジャンが（Δのみならず）Δに類似する関数についても、オイラー積と「ラマヌジャン予想の類似」を深く考察している事が述べられており非常に興味深い。「ゼータの積構造の発見」の素晴らしさを明確に理解できる所が、本書の大きな特徴であると思う。Messenger of Math. 45 (1916)に載ったラマヌジャンの論文をセルバーグやランキンなどの大数学者が見逃す筈はなく、それが「ランキン-セルバーグの方法」やランキンによるラマヌジャン予想への接近（予想本来のべき指数11/2+εに対し、29/5で成立することの証明）、ひいては「対称積ゼータ」や「黒川テンソル積」の導入に繋がったであろうことは、容易に想像できるのではなかろうか。なお、ハーディ自身この発見に注目していたことは、本書で取り上げられている原論文の等式(1)と(15)が、Hardy-Wrightのテキストで定理304と305として紹介され、ラマヌジャンのこの論文が初出であると注意している事、またその著書『Ramanujan』の第10講で上記のランキンの結果を詳しく紹介し、非常に高く評価している事、などから窺い知ることができると思う。

  次に、ラマヌジャンの数学を語るとき、ランベルト級数や連分数の値を特定する素晴らしい業績を避けて通れない。ラマヌジャンが求めたランベルト級数の値が、アイゼンシュタイン級数Ek(z)の保型性を用いて、その特殊値Ek(i)やEk(ω)（ωは1の原始3乗根）から求められることは、『数論II』の第9章で解説されており、良く知られていると思う。本書でもこの辺りの話題が簡潔に紹介されている。一方、ハーディを驚愕させ、オイラー-ヤコビ級と言わしめたラマヌジャンの連分数には残念ながら触れられていない。本書の主題である「ゼータの衝撃」から少し逸れた話題であり、許される紙幅を考慮の上、割愛されたものと考えたい。

  最後に、本書の第10章以降で多くのことを教えられた。ラマヌジャンによるメルテンスの定理の改良・類似の研究が「深リーマン予想」への先駆けとなっている事、ラマヌジャンの「ゼータの積分（解析接続）表示」のアイディアを使ってハーディとリトルウッドが「近似関数等式」を導いた事、「モック保型形式」が「マース波動形式の正則部分」であるというZwegersによる素晴らしい発見の説明、ラマヌジャンの1916年の論文の等式(21)がガウス整数環Z【√-1】の二重化のハッセゼータ関数の計算に相当する事、などがその例である。本書の最終章では、複素数体の有限生成部分環Aのハッセゼータ関数はある正則（誘導）表現を持つ絶対ゼータ関数であり、その行列式表示から解析接続・関数等式・一般化されたリーマン予想（Aが有理整数環Zの場合、ハッセゼータはリーマンゼータとなる事に注意）が導かれる、という夢の予想が述べられており、その様な方向で今後の研究が進展する事を期待したい。

  独創的な研究者が、ラマヌジャンの数学を解説しつつ、その研究成果とゼータ統一に向けての夢を語られている書とも言えよう。ハーディとラマヌジャンの関係では、異を唱えたい気持ちになる箇所が少々あるものの、数学に関係する解説は素晴らしく、ぜひ一読される事をお薦めしたい。

  【付記】

  ラマヌジャンの評伝では、Kanigel “The man who knew infinity”（和訳『無限の天才』）が非常に良く知られており、和書では藤原正彦『心は孤独な数学者』の中に「インドの事務員からの手紙」として、その生涯に思いを馳せる個性的なエッセーが載せられている。

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  北狐

  5 out of 5 stars

  ゼータ星からやって来たゼータ星人が日本(地球)人にもたらした新たな欲望

  Reviewed in Japan on January 12, 2023

  Format: Paperback

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  黒川先生の一連の著作を読んでいるうちに、人間には食欲、❍欲、金銭欲、物欲……etcの他に数(学)欲という新種の欲望が存在する事を発見した。

  　しかも、この数欲はゼータ関数を見ると、異常に欲望が亢進し、“老いて増々盛んになる”という特徴を持っている。数欲が亢進して、夜も碌々眠れなくなる事がある。

  　オイラーもリーマンも、ラマヌジャンもそういう思いで昇天して行ったのではないだろうか？

  黒川先生の目指す所は、日本人全体にこの数欲を強烈に植え付ける事にあるのではないか？

  という事がニブイ私にもだんだん分かって来た。まさしくゼータによる『人間革命』である。

  　冒頭の大野晋先生の研究については、岡潔先生がフランス留学の際にシンガポールに立ち寄り、『ひどく懐かしい気がして、日本民族はここを経由して来たのではないか？』と述懐しておられた事が、何かの本に書かれて居た。現在でもタミル語はシンガポールの公用語の一つである。

  　黒川先生のラマヌジャン愛の激情がほとばし出る本は、ツンとすましたハーディ・ライトの本等よりは、余程私の好みである。

  　黒川先生は大学の先生だけあって、まことに教育的配慮(部分、部分計算をチェックするように書いてある)に満ちた本である。

  　このような、数欲でよだれが垂れて来るような数学書は並みの数学者に書けるものではない。

  文学における芥川賞・直木賞に倣って、『黒川賞』を創設してはどうだろうか？

  　『ゼータの冒険と進化』、『現代三角関数論』etcを併読するようになっているが、この２著も異常に数欲が亢進する本である。

  　特に面白かったのは、第11章p168の解析接続の問題である。ここでは有理型関数とは何か

  という事がアイゼンシュタインの保形性を使って具体的に証明されており、大変勉強になった。

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  koku

  3 out of 5 stars

  数学の知識が必要

  Reviewed in Japan on October 17, 2015

  Format: Paperback

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  ラマヌジャンは、インドの天才数学者ですが、残念ながら、1920年に32才の若さで、亡くなってしまいました。

  この本に出てくる、彼が発見した さまざまな公式を見ても、その天才ぶりが、うかがえます。

  「衝撃的」 と言って、よいでしょう。

  但し、その証明の過程を理解するには、保型形式など、高度な数学の知識が必要だと思われます。

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  島津利一　

  5 out of 5 stars

  ラマヌジャンの二次のζ関数の説明とその周辺の数論的定理の紹介を易しく丁寧にしています

  Reviewed in Japan on February 15, 2017

  Format: Paperback

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  　これは　色んな所に書かれたものを集めたものでしょう。その為、各章はまとまっていて短編で内容は平易です。数式も丁寧に紹介されていて、高校生でも追っていける内容になっています。後に付録があり少し詳しい数式の説明があります。

  　ラマヌジャンというとカーニゲルの書いた伝記本や映画（奇蹟のくれた数式）を連想しますが、こちらは伝記ものではなくて数学を解り易く説明することに重点を置いて書かれています。重量感はありません。平易で簡単明瞭です。絶対数学や本格的なゼータ関数の本ではありません。とにかく解り易いです。ワイルズのフェルマーの定理の証明方針も簡単に解説されています。楕円関数や保形形式も優しく解説されています。初めて、ゼータ関数を学ぶ人、一般社会の人には最適の本だと思います。

  最後に、1+1+1+1+1+・・・・=－1/2　を不思議に思う人はこの本は最適な入門書です。

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